10.7. Практичний гармонічний аналіз.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Теорія розкладу функцій в тригонометричні ряди носить назву гармонічного аналізу. В практиці гармонічним аналізом називають представлення функцій, отри-маних прирозв'язуванні кошфетнихзадачувиглядірядуФур'є. Коефіцієнти такого ряду Фур'є, як правило, обчислюють наближено. Якщо функції отримані з експери-ментальних даних, то вони зазвичай мають вигляд графіків або таблиць. У цих випа-дках коефіцієнти ряду Фур'є обчислюють за допомогою наближених методів інтег-рування. Для наближеного обчислення інтегралів

1 Г г    г          1 Г г,   г ,        1 Г г    ■

а0 =— \j(x)ax, ап=— \j(х)cosпхах, Ьп =— \j(x)smnx,

л J       л J       л J

-71      -71      -71

застосовуємо будь-який з методів наближеного інтегрування. Застосуємо, напри-юіад, формулулівихпрямокутників (п. 7.7). Відрізок \-л;л\ поділимонаи рівних

частин, тобто крок поділу візьмемо рівним Дх

п

Позначимо точки поділу

відрізкучерез х0 = -ТҐ,ХХ,Х2,- ■ -,хп_х,хп = п, азначенняфункціївточкахподілучфез у„,у,, ...у . Тоді

Розділ 10. Ряди

и-1

и-1

и-1

lv1       Axv1 2 v^

я0 = — > у,Лх = — > УІ =— / УІ

г-0       г-0       г-0

п-\

и-1

Я"

я„ =—> j^cosra^Ax = — > J^COSKX,- ,

(-0

(-0

, n-\      n, n-\

i 1 v     i           2v^      ,

Я"

on = — > y,- sin KXjAx = — У yt sin ях; .

(-0

(-0

Для попегшення обчисленнякоефіцієнтівФур'є використовують різноманітні схеми та шаблони, а в більш складних випадках обчислення проводять з допомогою ЕОМ.

Приклад 1. Знайти тригонометричний многочлен другого порядку для функції, фафікякої приведений нарис. 3.

у к

 

Х0 Хі Х2 Х3 Х4 Х5 Хб Х7 Xg Х9 Х10 Хц Х12      X

рис.З

Розв’язання. Поділимо відрізок на 12 частин, огримавши крок поділу. 3 графіку фуіжціїбезпосфедшмвимірюваннямординатзнаходимо: у = 44, у, = 46, у = 88, у = 86.

у. = 63, у = 24, у = 20, у„ = 26, у„ = 40, у,„ = 58, у„ = 65.

Тоді по формулах наближеного обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є одер-

жимо:

Розділ 10. Ряди

a0 =—> yi =—(44+ 46+ 76+ ... + 58+ 65) = = 106,

12 rr* 6           6

2 v       1          ч          , 5я".    4я".

Я] = — > j,- cosx,- = — (44cos(-;r) + 46cos(           ) + 76cos(        ) +

12 rr* 6           6          6

 Зя". 2я". я\

+ 88cos(          ) + 86cos(        ) + 63cos(        ) + 24cos0 +

6          6          6

л          2я" Зя" Ля       5я".

+ 20 cos—ь26cos       h 40 cos           ь 58 cos           ь 65 cos—) = 8,3 ,

6          6          6          6          6

2 \~f     1          „ .        2-5я\    2-4я\

я2 = — / J,cos2x,- =—(44cos(-2;r) + 46cos( ) + 76cos(        ) + ...

12 rr1  6          6          6

2-4я"   2-5я\

... + 58cos       h65cos ) = -13,5 ,

6          6

r 2vn .  1 . , .    ., 5я\    . 5я\

Oj =—> j,smx,-=—(44sm(-;r) + 46sm(          ) + ... + 65sm—) = 22,3 ,

12 rr*  6          6          6

b2= — > j; sm2x,- = — (44sm(-2;r) + 46sm( ) +...

12 ^-^ 6          6

 . 2-5я\

... + 65sm        ) = —14,3 .

Таким чином,

/(x) « 53 + 22,3sinx + 8,3cosx -14,3sin2x-13,5cos2x . Для функцій, заданих аналітично коефіцієнти ряду Фур'є знаходять згідно при-ведених формул (п.9.6).

Приклад 2. Розкласти в ряд Фур'є криву двохпівперіодного випрямленого си-нусоїдального струму

A sin оЛ,якщо 0 < t < —

і(і)

CO

 я         2я'

- A sin Ш,якщо — < t < —

CO      CO

Розв'язання: Дану функцію можна представити у вигляді I(t) = \Asmcot\, -K<t<K.

Розділ 10. Ряди

Замінимо Ш = х і продовжимо функцію періодично на всю числову вісь (рис.4).

-in

у к

Я

х

рис. 4

Тоді

у = i(t) = і(—) = г(х) = Usinxl.

CD

Отримана функція парна, отже Ьп = 0 . Обчислимо коефіцієнти ап :

2р.. , 2 f . . , 2^4 .

l^sinxlt/x = — IL

J          к J

а0

|^smx|ofx = — L4smxax =— L4smxofx =       (-cosx)

л

Л"

Л" J     к J

0          0

2^4      лч 4^4

= —(-cos я"-(-cost))) =—

Л         71

я

 

(sin(w + l)x

яп = — L4 sin x coswxax = — \A sin x coswxax = —

Я J       Я J       Я

-71      00

A

- sin(w - \)x)dx

            cos(w + l)x н   cos(w -l)x

71        П + \    П-\

При n непарному an = 0 ; при и парному an Функція Дх) розклалась в ряд Фур'є

 

7ґ{п-\)

т, . 2^4 АА     АА      АА

І(х) =   cos2x   cos4x   cosox-...

п Я--3 Я--15  Я--35

а початкова функція і{і), відповідно, в ряд Фур'є

 2А ( 2 2          2

i(t) = — 1 —cos2mt    cosAcot           cosocot -

ж I 3    15        35

Розділ 10. Ряди

Приклад 3. Розкласти в ряд Фур'є криву однопівперіодного випрямленого синусоїдального струму:

f(t)

А $шаА,якіцо 0 < t <

л a'

0, якщо— < t <          

CO      CO

Розв'язування: Нехай cot = х, тоді:

Ї

A sin х, при 2-лк < х < (2k + Х)л

У = f(x) = і

 

І(х)

\в>)

10, при (2k + ї)л <х< 2л(к +1)

Графік функції представлено на рис. 5.

 

-2л

л

рис. 5

X

Отримаємо:

а0

 

я

гт. . , If.           A .

\](х)ах = — \Asmxdx = —(-cosx)

п

 

2^4

я

 

ап

я

Ст,      , 1 f , .  ,

1 (х) cos пхах = — \А sm xcosnxax

J          я" J

3 попереднього прикладу відомо, що при п непарному ап = 0 , а при и парному

ап

 

л(п -1)

 

Розділ 10. Ряди

Знайдемо b :

п

і 1 Гт, , . , 1 Ґ ,

Ьп =— \1 (хртпхах =— \Аsinxsmnxdx .

71 J     71 J

-JZ"     0

Якщо и — 1, TO

71        71        ,

. 1 f . • 2          i f„        , i         sm2i

Dj =— L4sm xdx=— (l-cos2x)ofx=— x        

к J        2л" J    2л" ^    2

0          0

 

A

A I f 1 | [ 0

2TT { { 2 ) { 2

U

якщо n Ф1, TO 6= 0.

Функція Дх) розклалась в ряд Фур'є:

Огже:

.. . 1А A . \А   \А

І(х) =   1          smx      coszx   cos4x

І71 2    7l~i      7l\5

\A        \A

            cos ox-...         r           coszmx-...

я-35     к{\т -1)

<          ^ л-     4          4

г(/) = I(cat) = —(In—Sinai —coszatf-...         cos 2m cat -...)

71 2     3          m2-\

Розділ 10. Ряди