10.6. Тригонометричний ряд. Ряд Фур’є.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Перюдичну функціюдх) з перюдом Т = — можнапредставитияксумуряду

CO

такого виду:

j (t) = —— + (а^ cos cot + bx sm cot) + \a2 cos 2cot + b2 sin 2cot) + ...=

—H-

 — + 2

2^(anncoscot + bnsmncot) ,

n-\

де a0,ax,bx,a2,b2,... -постійнівеличини.

Такий ряд називають тригонометричним рядом, а сталі a0,ax,bx,a2,b2,... -коефіцієнтами ряду Говорять, що такий запис представляє собою розклад пері-одичної функціїДх) в тригонометричний ряд. Покладемо cot — х, тоді ряд набуде вигляду

Розділ 10. Ряди

f(x)       \-(аг cosx + 6j sinx) + (a2 cos2x + 62sin2x) + ...=

an ^     (T)

= —- + У, ia„cos nx + K sin nx).

^          n-\

Як бачимо, всі доданки ряду Ттригонометричні функції з спільним пері-одом 2я. Тому й сума ряду Гбуде періодичною функцією з таким самим періодом. В силу періодичності суми ряду Грозкласти в тригонометричний ряд неперіодич-ну функцію можна лише на відрізку довжина якого дорівнює 2я. В подальшому використовується відрізок (-7Г, ті).

Перейдемо до питання знаходження коефіцієнтів ряду Формули знаходження коефіцієнтів виводяться шляхом інтегрування лівої та правої частини ряду (7) і домноженням на coswx або sinnx. Запишемо формули:

1 ґ

а0 = — \j(x)dx ;

71 J

-71 if

ап = — / (х) cos nxdx; (w = 1,2,3...), я J

-71

ои =— / (х) sin wxax; (« = 1,2,3...) к J

п

Тригонометричний ряд, коефіцієнти якого визначені за приведеними формулами називають рядом Фур'е функціїДх), а функціюДх) - породжуючою для ряду

3 вище записаних формул легко можна показати, що якщоДх) - парна функція, то

71        71

2          2

2 ґ       2 f

а0 =— / (х)ах; аи =— / (х) cos wxax; ои = 0

о          о

(говорять, що функція розкладається в ряд Фур'є по косинусах);

2 f якщо Дх) - непарна функція, то а = 0; a = 0; оя = — / (х) sin wxax

(функція розкладається в ряд Фур'є no синусах).

Розділ 10. Ряди

Зауважимо, що записаний для функціїДх) ряд Фур'є не завжди збігатиметься саме до неї. Приведемо достатню умову збіжності ряду Фур'є до породжуючої його функції.

Теорема. Якщо функціяДх) має скінченну кількість точок розриву I роду на проміжку {-тг, ті), то її ряд Фур'є збігається до неї на цьому проміжку

Приклад 13. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію>' = I х \ з періодом 2л. Розв’язання:

а) Побудуємо графік даної функції з врахуванням періодичності:

б) Дана функція парна, тому коефіцієнти будемо знаходити за формулами:

2 r        l г

а0

— /(х)ш:; аи =— /(x)coswxox; ои

0          0

в) Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є:

0 ;

 

2 Г .. . , а0 = — / (х)ах

71 J

 

           

2 х2 п 2

л 2

0 7Г 2

 = я\

 

Отже, знайдено

а0 = п

2 f ап =— \j (x)cosnxax;

даний інтеграл знаходимо інтегруванням частинами:

 

и — X du — dx

dv — cosnxdx 1 . v — — smwx n

204

Розділ 10. Ряди

л 1

if

2 Г       2

Тоді     а„ = — \х cos ихсГх = —

л J       л

smnx

 

sin nxdx

Враховуючи, що sinO і 8Іпия"дорівнює 0, отримаємо:

2 1

а„ =     r-coswx

л п

* 2 ( n^ 2 ,       л

= —т-( cos ия"-cost) ) =        r-(C0S«^"-l

A          2 v      '            2 v      '

2

о,

якщо п - непарне якщо п — парне

 

Оіже,

ап

=

7ҐП

якщо п - непарне якщо п - парне

г) Підставимо знайдені значення у формулу

f(x) = —+ a1cosx + Z>1sinx + a2cos2x + Z>2 sin2x + ...

отримаємо:

і I я" 4  4          4

\x\ =     -cosx   -cos3x -cos5x-...=

1 2 п-\г           Л--І2   л-52

71 4 (cosx cos3x cos5x ) ж 4-^cos(2n-l)

-H        ~—-I   ~— + ...| = — -—> —

2 jl 1

3

2 ^ (2„-l)2

Приклад 14. Розкпасти в ряд Фур'єперіодичнуфункцііоДх) —х(Т— 2л). Розв’язання:

а) Побудуємо графік даної функції з врахуванням періодичності:

 

X

 

Розділ 10. Ряди

б)         Дана функція непарна, отже а0 = ап = 0, Ьп = — \xsmnxdx .

о

в)         Обчислимо коефіцієнтиряду

 2 f . , bn =— \xsmnxax =

 

U = X  du = rfx

dv = sinnxdx    1 v = — cosnx

 

* 1

+ —

0 n

 \cos nxdx

o

2 и

—        COS7Z77 —

п

 

Я"

 

coswx

х

 

л          1

 

n

—cos/m-\—SinHx

и

якщо n — парне

якщо n — непарне

 

Туг враховано, що s'vcmn= sin 0 = 0, cosnn= ±1 в залежності від значень п.

г) Підставимо знайдені значення в ряд Фур'є, який в даному випадку має вигляд

/(х) = 2,Кsinпх ■

п-\

Отримаємо

x = 2smx-sm2xH—sm3x-..|-lj —smwx + ... = 2/ Д-І)

n=\

sinwx

п

Приклад 15. Розкпасти в ряд Фур' є періодичну (Т — 2 л) функцію

Го, якщо - тт < х < 0

У = \

[ X, ЯКЩО 0 < X < я

Розв’язання:

а) Побудуємо графік даної функції, врахувавши періодичність:

Розділ 10. Ряди

 

            У J       L                                

/1

X i       Л         "Л        _/         1          /I

/ 1 1

-71      0          і

71        2я        Зя        1 '

б) Дана функція є ні парна, ні непарна, тому коефіцієнти ряду Фур'є обчислю-ватимемо за формулами:

ап

Ь0

1 ґ       ,

а0 = — /(х)ах,

-71 П

1 г = — / (х) cos ихах, п J

-71 П

1 г = — / (х) sm ихах ; к J

Л

в) Обчислимо коефіцієнтиряду

і °         1 л       1 2

п = п

1 г„ , If, а0 =— Оахн— \хах =—

л J       71 J     Я" 2 0 2

-л"       0

1 f.       , 1 ґ

аи =— О-совихахн— \xcosnxdx

Я"

 

и — X dw = dx

dv — coswxdx            v = sirwx

Розділ 10. Ряди

smnxdx

sinwx

к_\ 0 n

 

= —;-cos«x

             2

mi

 

к 1

7U1

(cosw;r-l)

 

0,

,mi

якщо n — парне якщо n — непарне

 

Отже, <Я]

; a2 = 0; a3

^n

ІТ.Д.

 

U

 1 f. .    , 1 f .    ,

bn =— OsmwxaxH— xsmwxox

-п

 

u — X dw = dx

dv — sinwx dx v = - coswx

1

X

п

cosnx

 

n 1

п

sinwx

СОвЯЯ"

 

якщо n - парне

якщо n - непарне

 

Отже, h = i; b2

 

—; b3 = —; b4

2          3

 

4

ІТ.Д.

г) Підставимо знайдені значення в загальний вигляд ряду Фур'є і отримаємо:

я- 2 . 1 .          2ж

у s        cosx + smx      sm2x —-—cos3x +....

4 71     2          3 j

Функції, які ми розкладали в ряд Фур'є були неперервними на {-тг, ті). Якщо ж функціямає точкирозриву на {-тг, ті), або необхідно встановити збіжність рядуФур'є на кінцях відрізку, то використовують теорему Діріхлє.

Теорема Діріхлс. Якщо функціяДх) кусково-неперервна на проміжку \-тг, тг] (тобто має лише скінчену кількість точок розриву на цьому проміжку) і має скінче-не число точок екстремуму то ряд Фур’є цієї функції збігається в усіх точках даного проміжку причому

а) в точках неперервності функції його сума рівнаДх);

Розділ 10. Ряди

Л-я- + 0) + Дя--0)

f(x-0) + f(x + 0)

б) в точках розриву функціїДх) його сума рівна    ;

в) на кінцях проміжку сума ряду рівна

Приклад 16. Розкпастив ряд Фур'є періодичну(Т — 2л) функцію

У

\і, якщо - я < х < 0 [2, якщо 0 < х < я'

Розв’язання:

а) Побудуємо графік даної функції

 

            У

2                                                                    

           

            1

і                                             

           

■ 1      

            і і                    

           

           

1

-п        і           і           і

71        2ті :      71        w X

б) Дана функція є ні парна, ні непарна, і має розрив в точці х — 0 з проміжку (-7Г, ті) та на кінцях проміжку

Згідно з теоремою Діріхлє сума ряду Фур'є S, в т. х — 0 обчислиться за форму-лою

           

                         —

2 2

/(х - 0) +/(х + 0) 1 + 2 3

 

5]

а сума ряду 5і, в т. х — +л"обчислиться за формупою

           

S2

f(-n + 0) + f(n -0)1 + 23

 

2          2 2

в) Для знаходження коефіцієнтів ряду Фур'є використаємо відомі формули. Обчислимо коефіцієнти ряду

а0

 

+ 2х

J

*          1 Г- . 1

X

-71

V

\ахл— Ylax =—

71 J     Я

Розділ 10. Ряди

1 /        \ Зя

—\я + 2я) = —

71        Я

 3;

o

an

 

л

п

l-coswx<ix + 2coswx£&

\-n        0

 

Л

sinwx

п

0 2 sin wx

н         

-л n

0;

 

 o

 

1 • sin wxtfc + 2 sin wxtfc

V-лг    0

1 i cosri/T 2cosw;r 2

n

n

n

Я"

n

йя

 

coswx

 

п

n

0 2cos«x -n

Я"

0,

,           i           якщо n - парне

=          [costiTr — 1)=^ 2

яи        —, якщо п — непарне

улп

г) Запишемо розклад даної функції в ряд Фур’є, для точок з проміжків

(-л; 0)и(0;4

3 2. 2 . 2 .

у £ —I—smxH            smJxH  sm5x + ...

2 л       3/г       5л

В точках х = 0; ±я"даний ряд збігатиметься до числа 3/2.