10.5. Гармонічні коливання.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Загальною ознакою всіх коливальних рухів є те, що вони періодично повторю-ються ( або наближено повторюються ) через певні проміжки часу. При вивченні коливань нас цікавлять, в основному, ті ознаки, які характеризують повторюваль-ність рухів. Це закон, по якому повторюється рух, час, через який система знову прийде в початковий стан, найбільші відхилення, яких досягає рухоме тіло і т.д. Най-більш простими коливальними процесами є рух маятника (при малих відхиленнях), рух тіла на пружині, напруга і сила змінного струму Маючи різну фізичну природу всі ці процеси математично описуються одним і тим же рівнянням. Як приклад, розглянемо коливання матеріальної точки масою Мнавколо положення рівноваги (рис. 2). Невідомим є закон руху х — x(t). Згідно закону Гука сила, що діє на тіло прямо пропорційна відхиленню точки від положення рівноваги:

F — -кх,

Положення рівноваги

 

г^>

 

Рис.2

а згідно другого закону Ньютона ця ж сила рівна:

F — Мх", де к - коефіцієнт жорсткості пружини, М- маса тіла, х "- прискорення руху тіла.

Розділ 10. Ряди

Для визначення закону рухутіла ми отримали диференціальне рівняння :

Мх "= - кх, або Мх "+кх — 0.

Розв’яжемо це рівняння, поділивши праву і ліву частини на М:

х"+рх= 0.

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння II порядку з постійними коефіці-єнтами, його характеристичне рівняння має вигляд

г2 +р = 0.

Розв'язки складеного характеристичного рівняння комплексно-спряжені

r = +iJp , r„ = — ijp

1          •          2          Vг

Позначивши Jp через со, одержимо

х = С] cos(etf) + С2 sin(o^).

Нехай C7=^sina , С2 =^4 cos , тоді

х = ^(sina • cos(etf) + cos a • sin(etf)),

або

x = Asm((ot + a).

Розв'язок показує, що pyx відбувається no закону синуса (або косинуса). Такий

рух носить назвупростогогармонічного коливання. Оскільки |sin(e# + a) |(1, топо-

стійна А визначає найбільше відхилення точки від центра коливань. її називають амплітудою коливання. Величина a визначає початкове положення тіла, її назива-ють початковою фазою. Період коливання Гвизначається по формулі

2л" Т— —. со '

а величина v , обернена до періоду визначає число коливань за одну секунду її

називають частотою коливань

1 CO

v= — = — • Т 2.Л

(Іноді частотою називають величину со. Вона виражає число коливань за 2л секунду).

Для побудови графіків гармонічних коливань використовують елементарні пе-ретворення графіку функції^ — sinx .

Рівняння

х = Asm(cot + a) називають рівнянням гармонічних коливань, або просто гармонікою.

Розділ 10. Ряди

Більш складні коливання , якщо це можливо, вигідно представляти як суму декількох гармонічних коливань з однаковими частотами. Таким чином, виникає пигання додавання гармонічних коливань. Сума двох гармонічних коливань з одна-ковими частотами, але різними фазами та амплітудами, буде теж гармонічним коли-ванням з тою ж частотою, проте з новою фазою та амплітудою. Якщо

у, — A ,sin(a)t+a,) ,

у, = ^,sin(a)t+aj, TO y — y+y = ^sin(a)t+a), де

A = JA\ + 1AXA2 cos(aj - a2) + A Ax sinaj + A2 sina2

tga =

Axcosax + A2cosa2

Сума двох коливань з різними частотами не буде гармонічним коливанням. Для побудови графіка суми двох гармонічних коливань з різними частотами вико-ристовують графічний метод, який полягає в сумуванні ординат графіків у вузло-вих точках.

Довільний закон руху, чи більш загально, довільну функцію можна представиги як нескінченну суму простих гармонік, тобто у вигляді тригонометричного ряду