Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
10.3. Степеневий ряд. : Вища математика : Бібліотека для студентів

10.3. Степеневий ряд.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

магниевый скраб beletage

Функціональний ряд виду

I

а„(х — Ь)" = а0 + Я](х - Ь) + а2(х — Ь) + ... + ап{х — Ь)" + ... п-а називають степеневим рядом.

Тутх-незалежназмінна, а0,а1,...ап -постійнікоефіцієнтиряду 6-довільна

стала.

Якщо ввести замінух - Ь — z, то отримаємо ряд

Розділ 10. Ряди

2^ci„z" = a0 + axz + a2z +... +anzn +...

n-Q

Отже, для вивчення степеневих рядів можна обмежигись розглядом ряду

п=0

anz

Ознака збіжності степеневого ряду (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд

а0 + ахх + а2х2 +... + апхп +... збіжний прих = х , товін збіжний, причому абсолю-

тно, при всіх х, для яких виконується умова х < х0 . Якщо степеневий ряд розбіж-

ний при х = х„, то він розбіжний ДЛЯ ВСІХ X > хп .

Таким чином, із збіжності степеневого ряду в одній точці х„ слідує його збіж-ність в цілому інтервалі -х <х<х Число R = хп називають радіусом збіжності

j           г          0          0.         и          ' іі '

степеневого ряду Радіус збіжності визначається з співвідношень:

R = lim

ап

п+\

або

R = lim

V \ап

які випливають з ознак Даламбера та Коші для числових рядів. Дійсно, по ознаці

X

Даламбераряд > апхп збігатиметься, якщо

п-0

lim

П—»сс

ап+1х

апх

п+\

— lim

П—»со

X

ап/ап+\

 

I           °°

Отже, при ш < R ряд X а ях" буде абсолютно збіжним. Аналогічно

п=\

дово-

дигься і друге співвідношення.

Область збіжності степеневогорядуможе бутирівна:

а)         одній точці х — а;

б)         відрізку (а; Ь);

в)         всій числовій осі.

Розділ 10. Ряди

Приклад 7. Дослідиги на збіжність степеневий ряд \*

п=0

п2хп

 

Розв’язання: Тут ап

           

гс

2

п

ап+\ —           —, тод1 РВДіус зоіжності

2 _ г,п+\

ап

R = lim

= lim и-><»2"(и + і)

2, отже область збіжності - 2 < х < 2.

ап+\

(п + \) Дослідимо збіжність ряду в граничних точках. Прих — ±2 степеневий ряд мати-

 П (+2)

\~"

ме вигляд

>(+1/1 и . Обидва ці ряди розбіжні, бо для них не викону-

2"

гс-0     и-0

ються необхідні ознаки збіжності, отже область збіжності ряду (-2; 2).

(х-3)"

Приклад8. Дослідигиназбіжністьряд ^]

n-O-Jyl + 1/-2

Розв’язання: Введемозамінух-З—z,тоді

I

(х-3)я

>           ,          ^z=                               ,

n=0-d\n +11-2 и=0 л/ш +11-2

 

яи

п+\

запишемо: ап

Радіус збіжності

R = lim

 

ап+\

■у/((«2 + і]Р +1) • 2И+1

# + l)2+l)-

■>и+1

lim .

= lim    „^        v                      і -і

-—тг-  • л/2 = V2;

и2 +

отже область збіжності ряду - v2 < z < V2 , або 3-v2<x<3 + v2 .

Перевіримо збіжність ряду в граничних точках: при х =3 + V 2 отримаємо знакопостійний ряд

Розділ 10. Ряди

2-, i 2 == 2-, r~2—'

n=§\{n +1)2" п=ОУп + 1 який є розбіжним (згідно другої ознаки порівняння з гармонічним рядом); при х =3 - V2 , отримаємо знакозмінний ряд

ZV(-2) ^ч (-1)

п=0^(п +1)2" п=0Л/и +1 який збіжний згідно ознаки Лейбніца. Отже область збіжності ряду є

3 -v2<x< 3 +V2 . Властивості степеневих рядів.

Степеневі ряди мають ряд цікавих властивостей:

1.         Сума степеневого ряду є неперервною функцією в області його збіжності.

2.         Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на будь-якому відрізку з області його збіжності.

3.         Степеневий ряд можна почленно диффенціювати в будь-якій точці з області його збіжності.