10.2 Функціональні ряди.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Якщо у ряді

Х>.

Я) +а2 +а3 +... + ап +...=

п-\

членипослідовності а1,а2,...,ап,... -функції,торяд називаютьфункціональним.

Наприкдад, функціональними будуть ряди

sinx + sin2x +...+ sinm:+... , х + 2х2 +Зх3 +...+ пх"+... , Іпх + 1п(1+х) + 1п(2+х) +...+ 1п(и+х) +... . Якщо в функціональний ряд підставиги х — х , то він перетворигься в числовий. Отриманий при х=х0 числовий ряд може буги збіжним, або розбіжним.

Точкух=х„, в якій функціональний ряд перетворюється в збіжний числовий ряд, називають точкою збіжності ряду. Сукупність всіх точок збіжності для даного функціонального ряду називають його областю збіжності.

Очевидно, що в точках збіжності х існують значення сум S. числових рядів, і можна встановити відповідність між точками збіжності та значеннями сум. Отже, сума функціонального ряду є деяка функціяДх), область визначення якої співпадає з областю збіжності функціонального ряду. Кажуть, що функціональний ряд збіга-ється до функціїДх), або що функціяДх) розкладається в ряд. Матимемо:

X

f(x) = й](х) + а2(х) + а3(х) + ... + ап(х) + ... = f ап(х)

п-\

в області збіжності ряду

Розглянемо деякі функціональні ряди.