10.1. Числові ряди. Основні поняття і теореми.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Якщо ах, а2,..., ап,... - числа, то ряд називають числовим. В залежності від зна-

ку чисел ряди можуть бути знакопостійними та знакозмінними (знакопочережни-ми).

Наприклад, ряди:

11        1

1 + —+ — + ... + —+ ... ,

2 3       п

1 + 2 + 4 + ... + 2и +... , -1-3-5-...- (2и -1) -...

є знакопостійні, а ряди

, 1 1 1  , й+і 1

1          1          ь... + (-1)         ь...

2 4 8    2"

є знакозмінними (знакопочережними).

Знайти суму нескінченної кількості доданків безпосереднім додаванням не може ні людина, ні ЕОМ. Знайти можна лише суму скінченого числа доданків. Такі суми називають частковими сумами ряду Наприклад,

S\ = «і ,

5*з = «і + «2 + аз ■

 

S п = й] + а2 + ... + а„

А чи може існувати сума нескінченної кількості доданків? Розглянемо приклад: знайти суму ряду

1 + —+ — + — + ...+ 2 4 8

Обчислимо часткові суми цього ряду:

+

 

51        =1

52        =1 +

 

1          2

53        =1 + — + —= — ,

2 4 4

1          1 1 15

54        =1 + — + —+ — = — ,

2          4 8 8

111 1 31

55        = 1 + — + — + — н  = — .

2 4 8 16 16

Бачимо, що чим більша кількість доданків, тим ближче S наближається до чи-сла 2. Даний приклад легко проілюструвати геометрично (рис. 1).

„111    1          ,

л = 1н 1          1          1          + ... = 1-2 = 2 .

2 4 8 16

 

1 -<

 

Рис.1

Розділ 10. Ряди

He для кожного ряду послідовність часткових сум при п —> оо наближається до конкретного числа.

Наприклад, для ряду

1-1 + 1-1 + ... + (-1)"+1+... , часткові суми S рівні або 0, або 1; для ряду

1 + 2 + 3 + 4 + ... + И + ... :

часткова сума S —> оо при п —> оо.

Ряд, для якого існує границя послідовності часткових сум при п —> оо називають

збіжним рядом, а число 5 = lim Sn - сумою ряду. Якщо ж lim Sn = оо або не

= ИтЛп - сумою ряду. -Нкщо ж пто

існує, TO ряд називають розбіжним і йому не приписують жодного числового зна-чення.

При дослідженні рядів основними є два питання: чи буде даний ряд збіжним і чому буде рівна сума ряду В багатьох практичних задачах принциповим є перше питання. Тому основну увагу приділимо питанню встановлення збіжності ряду

ь.

Необхідна ознака збіжності знакопостійного ряду: Якщо ряд ^\іп збігається,

П-\

то його загальний член ап при необмеженому зростанні п прямує до нуля:

lim ап — 0.

и3+1   п2 +1

 

пг        п п3

Приклад 1. Дано загальний членряду: а) Ь =—; б) a

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності ряду Розв’язання:

а) Знаходимо Ь, = —-— = 2, Ь2 = — = —, h = — = —, b4 =       = —;

Zn +1 „ 9 28 65

1+1      2+1 9   3+1 28 4+1 65

п=.

           

и3+1

2 п-ко п

Тому. що lim —-— = оо Ф 0 то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.

Розділ 10. Ряди

12+1    22+l 5  32+l 10            42+l 17

б)Знаходимо «1 = —j— = 2, a2 = —5— = —, a, = —5— = —, a.

Iі          2          8          3          27        4          64

00 2

Zn +l „5 10 17

—-— = 2H     1          1          h...

Записуєморяд: ^ „з    8 27 64

Необхідна ознака збіжності виконується, 60 lim —5— = 0.

Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.

Достатні умови збіжності знакопостійного ряду.

Перша ознака порівняння. Нехай дано два ряди A = ^a„ і В = ]Г 6„ , при-

п-\       п-\

чомуа > Ь . Тоді: а)іззбіжностіряду(^) (збільшимичленами)випливаєзбіжність ряду (В) (з меншими членами); б) із розбіжності ряду (В) випливає розбіжність ряду (А).

При застосуванні даної ознаки часто використовують ряди, збіжність яких відо-

— (розбіжний); узагальнений гармонічний , п

п-\

Z

1          ,           ~ ,-•     ,-•

—, (якии збіжнии при a > 1,розбіжнииприа< 1 );геометричнупрогресію

а1 (збіжний при \q\ < 1).

п-\

Приклад 2. Використовуючи першу ознаку порівняння, дослідиги на збіжність

ряд:

X

I

п-\

111      1          1

и-2" 2 2-2 3-2 4-2

 

Розділ 10. Ряди

3D       л

— -збіжнугеометрич-

п-\

ҐГ        ^ *       г^        11        \~^

2          п-2" 2" и-2"

ну прогресію (оо q <—). Справедлива нерівшсть            < — , отже ряд >

п-\

збігається.

Друга ознака порівняння: Нехай дано два ряди / ап , /Ь„ .Якщо Ііт—^- = Я,

п-\       П~\      п

де X Ф 0 ,Х Ф оо, то обидва ряди ведугь себе однаково, тобто збігаються або розбігають-ся одночасно.

Приклад 3. Дослідиги на збіжність ряд /

„=і2"-"

Розв’язання: Туг a =  • Для порівняння використаємо ряд > — з за-

2"-п     2п

1          г-         п ■

гальним членом Ь =— -збіжнугеометричнупрогресію. Звідси:

« 2п

ііт —^ = urn —

П->СО Ьп      П->СО 2" - П "^"       П

llm5L=llm^=llm^ = 1.

l —

2" Тому, що Я — 1, то обидва ряди ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.

3D

Ознака Даламбера. Нехай дано ряд / ап . Тоді, якщо існує lim "+ — р, то

при р <\ ряд збіжний; при р>\ ряд розбіжний; при р —1 потрібно скористатися іншою ознакою.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд:

Z

n\ 1! 2! 3! 1 1-2 1-2-3

            = -;- + — + —Г + ... = ~Н     Н         ;— + ...

, п" Iі 2 2 3 1 2 2 З3

п-\

Розділ 10. Ряди

Розв’язання: Туг ап =—'-, ап+х =    ' ,

(и + 1)"+

а ,х (п + ї)\пп (п + ї)\пп

р = hm = lim    — = hm          

п

»->» ап и-ко (у1 + \^п+ п\ и-ко (п + \)п(п + \)п\

п

1          1

hm       = — < 1

—         —

" е

.. 1       ,.

lim

іші        1

»->°°(w + l)" «■

 

hm       = hm

'-^fw + iY »^ґ

Ряд >   збіЖНИИ.

п-\

Ознака Коші: Нехай дано ряд          . Тоді, якщо існує lim Щап — с, то при

п-\

р <\ ряд збіжний; при р>\ ряд розбіжний; при р—1 погрібно скористатися ішпою

ознакою.

п-\

Приклад 5. Дослідиги на збіжність ряд / Розв'язання: Знайдемо

2п + \

и + 3 )

2и + 1 I           \ In + ї

lim Цап = lim

и

— ІІІЇІ

и->со у ^ п + 3

 

2и + 1 |

ч lim

 я->» п + 3 J

 

2 +

lim        £

 

1 + п J

2 = 4 >1

 

Отже, ряд / д

я-1

2и +1

и + 3 J

 розбіжний.

 

Розділ 10. Ряди

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряд у (ознака Лейбніца).

Якщо члени ряду Х(-1)" а,П спадають по абсолютній величині та п=\

lim ап = 0, то ряд збіжний.

Для знакозмінних рядів вводять поняття абсолютної збіжності.

Знакозмінний(знакопочережний)ряд У. (~1)"+ а" називаєтьсяабсолют-

я=1

но збіжним, якщо збігаються одночасно даний ряд і ряд, скдадений з абсолютних величин його членів. Якщож збігається лише знакозмінний ряд, то його називають умовнозбіжним рядом.

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряди:

Хнг

П-\

а)

-і 1 1 1 1 1 1

— = 1  +          +          ... ;

п          2 3 4 5

 

Розв’язання:

а) Тому, що у\

„1111111

б) 1      1          1          1          ... .

23 З3 43 53 63 73 83

>■■■ і lim(-l)" — = 0,

 

торяд

 

п -\

збіжний за ознакою Лейбніца.

 

("1

И+1

Але ряд

п-\       п-\

розбіжний, як гармонічний і, звідси, висновок, що даний знакозмінний ряд збігається умовно. б) Даний знакозмінний ряд збігається абсолютно, бо ряд, складений із модулів його

1

1111

1111    і           Vі І

п-\

членів: 1н— + ~г + — + — + ---- + - + ---= / — , є узагальнении гармонічнии.

2 3 3 4 3 5 3    п3        ^3

який при показникові степеня більшому за одиницю збігається.

Розділ 10. Ряди