9.5.Вправи.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

1.         Яке рівняння називається диференціальним?

2.         Що таке порядок диференціального рівняння? 3 Визначте порядок рівнянь

a) v " + 2у' — 0;          б) у'- ytgx —   ;

cosx

в) у" + у'" = у'; т)хуу'+х2 - 2у = 0.

4.         Які види розв 'язків має диференціальне рівняння?

5.         Який розв 'язок диференціального рівняння називається загальним?

6.         Який розв ’язок диференціального рівняння називається частковим?

7.         Яку задачу називають задачею Коші?

8.         Перевірте, чи розв 'язком диференціального рівняння у fctgx + у — 2 є функція

у — COSX.

9.         Запишіть загальний вигляд диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

10.       Якрозв'язуються диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними?

11.       Запишіть загальний вигляд лінійних диффенціальних рівнянь пфшого порядку

12.       Як розв ’язується лінійне диференціальне рівняння першого порядку?

13.       Як визначається і як записується в загальному вигляді лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами?

14.       Що таке характеристичне рівняння?

15.       Який вигляд має загальний розв 'язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, якщо корені характеристичного рівняння: а) дійсні і різні;        б) дійсні і рівні; в) комплексно-спряжені?

 _.        .           .           1 _ „

16.       Тшо рухається зі швидкістю, що задається законом v =    . Знаиги закон руху

t + 3 якщоб'^О при?= 0.

17.       Прискорення прямолінійного руху матеріальної точки задано законом

a — 6t - 4. Знайдіть закон руху якщо S — 5 м, v — 6 м/с, при t — 2c.

Розв 'яжіть диференціальне рівняння і знайдіть частковий розв 'язок, що задовіль-няє відповідним умовам:

18.       2Jу — у' — О,            у(0) = 1.

19.       (1 + х3)у' = Зх2у,        УФ) = 2.

20.       у'=—;—,         у(—) = 0.

х +1     4

Розділ 9. Диференціальніріеняння

 

21- 2_у'_ул Xі ~ЄУ = 0:        y(0) = 0.

22. у'ех = X,               y(0) = 1.

23. у' + ysin2x = 0,                  n

y{—) = 1 . 4

24. х2 (у3 +5)Й6С + (Х3       + 5)у2 dy=0,   y(0) = 1.

25. х-\ у dx + уу          х dx — 0,        y(V3) = 0 •

26. xydx + (1 + J2 )л/і +.        х2dy = 0,         y(y8) = 0-

27. _у' = ^,                  y/(0)= 25.

28. tgydx-xlnxdy = 0,              y — = e

\2y

29. j '= 2х2 + 5х + 12,                        1

XI) —7-6

30. >> '-у2 - 3>> + 4 — 0,    dy = 0, y(0)— 1.

31. д/і + ^2Л + л/і + х2         

           

32. (1 + y2)c6c + (1 + x2)t/v = 0,       XI) —2.

33 v '+2pv — e'2px                XO) — 0.

"ЇД -i; Ц-Ал) = у^Р'^х                       X0) =

35. х2у '+5ху+4 — 0 ,                        1 y( — ) — 62.

2

36.xy'+y = cosx ,

37.

dy dx

y

 2x — x ,

dy

38.       y = x-1,

dx

dy        2

39.       vxy = x ,

dx

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Ф і       2

40.       +^>У = х +1,

с/х

41.       У+2>> = x ,

42.       y'-yctgx = 2x-x ctgx,

43.       ^ + ycosx = smx-cosx, dx

 dy       _,

44.       xlnx^^+y = 21nx,

t/x

45.       /-1 = 0,

46.       / - 2y' - 3y = 0,

47.       / -10У + 25y = 0,

48.       /+6y'+9y = 0,

49.       / + 2У - 8>> = 0,

50.       y" + y' -20y = 0,

51.       5" + 5" - 65* = 0,

52.       y" -2y' -2y = 0,

53.       y" -6y' + I3y = 0,

54.       / - Ay' +13>> = 0,

/0) = 2, У(0) = 0 . /0) = 8, У(0) = 0 . /0) = 2, У(0) = 8 . /0) = 1, У(0) = 2 .

/0) = 4, У(0) = -4.

,к 9 .

у{Щ = —,у (0) = 0 .

5(0) = 5,5"(0) = 0 . /0) = 3, У(0) = 0 . /0) = 3,У(0) = 11. /0) = 2,У(0) = 1.

 

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Диференціальні рівняння

Першого порядку

Найпростіші   3 відокрем-

dy dx

люваними змінними

dy dx

■fix)

f(x)g(y)

Лінійні

y' + f(,x)y = g(x)

Другого порядку

Найпростіші Лінійні однорідні з постійними

v" = f(x\           коефіцієнтами

у" + РУ' + qy = 0

 

1.         Проінтегрува-1. Скласти характеристичне ти двічі.        рівняння к2 +рк +q=0.

2.         Знайти загаль- 2. Знайти загальний розв'язок. ний розв'язок F(x; Сґ- С2)=0

4. Знайти частко-вий розв'язок.

Розділити змінні dy

- f(x)dx

g(y)

Привести до виду 1 dy=j(x)dx. Проінтегрувати. Знайти загаль-

3.

нии розв язок. 2. Проінтегрувати

3.         Знайти загальниг} 4. розв'язок

4.         Знайти частковий розв'язок.

Заміна y=uv; у '—и "v+uv' Одержали рівняння u\>+u(v'+f{x)v)=g(x). Вимагаєм v'+f[x)v=0. Знайшли v=v(x). Знаходимо и; и V=g(x) и—и(х)+С. Записати загальний розв'язок

y-(u(x)+C)v(x). Знайти частковий

розв'язок.

3. Знайти частко-вий розв'язок.

 

Корені >яракг.р-ня

D

Розв'язок диф. рівняння

Р>0 D=0

JL

-Слв 1 +С9е '

к]=к2

у={С,+С2х)еІС

ZX0

к]=а+Ьі к2=а-Ьі

y=e"(C]Cosbx+ +C2sinbx)

3. Знайти частковий розв'язок.

Диференціальне рівняння -fix; у; у'; у";...у(п>')=0

Порядок диференціального рівняння - порядок найстаршої похідної

Загальний розв'язок - функція від х, що залежить від Сг С2,...Сп (п - порядок рівняння), і задовільняє заданому

диференціальному рівнянню.

Частковий розв'язок - загальний розв'язок з фіксованими значеннями Сг С2,...Сп.

Задача Коші - диференціальне рівняння+початкові умови.

Розв'язок задачі Коші - знаходження часткового розв'язку при заданих початкових умовах.