9.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння ефіціентами.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіціє-нтами називається рівняння виду:

у "+РУ '+ЧУ =АХ) j

дер і q деякі числа.

ЯкщоДх) — 0, то диференціальне рівняння називається лінійним однорідним і має вигляд:

y"+py'+qy =Q.

Справедлива теорема: якщо у, і у, часткові розв’язки лінійного однорідного диффенціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, причому у,/ у, Ф const, то функція у — Су.+Су^ де С, і С, - постійні сталі, є загальним

у I у 2  L j        ^ у       У 1      2у 2     1          2          ?

розв'язком цього рівняння.

Знайдемо такі функціїу^ у , які перетворять задане диференціальне рівняння в тотожність і задовільнять умови теореми. Ними будуть функції видуу — е*1. Дійсно, підставивши в рівняння отримаємо:

(е*1) "+(efa) '■p+q{ekx) — 0, к2 е^+к ekz-p+ e^-q — 0, e^Q^+kp+q) — 0. Останній вираз перетвориться в нуль, якщо

k2+kp+q = 0. Рівняння k2+kp+q — 0 називають характеристичним.

Воно визначає ті значення к, при яких функціяу — е*1 є частковим розв'язком лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку 3 постійними коефіцієнтами. Можливі наступні випадки:

 

№ п/п

2

3          Корені характеристич ного рівняння         Частинні розв’язки диференціального рівняння   Загальний розв’язок диференціального рівняння

 

            кі^ 1І2 клх к^х

ух - е ,у2-е      у = Схе lX +С2е іХ

 

            к] = к2 ух = ек'х, у2 = хе1%   y = ekiX(Q +С,х)

 

            а±р-і    ах о

Ух - е cospx

ax о

уі= е cospx      у = еах (CiCOSj3x+C2si&/3x)

Приклад 6. Знайти загальний розв ’язок диференціального рівняння:

у "-5у '+бу — 0 . Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

Розділ 9. Диференціальніріеняння

k2 - 5k + 6 = 0, £) = 25 - 24 =l,

5-1 , 5+1

K] =    = 2; л2 =         = 3 .

2          2

Корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, томууі — е2х, у2 — е3х-часткові розв'язки, а у — С, е2х + С, е3ж- загальний розв'язок диференціального рівняння.

Приклад 7. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

у "+4у+4у — 0 .

Розв’язання: Характеристичне рівняння к2+4к+4 — 0, або (к+2)2 — 0 має дійсні корені к=к= -2, тому у, = е~2ж, у, = хе"2ж - часткові розв'язки, а у — e~2z(C+Cjc) загальний розв 'язок диференціального рівняння.

Приклад 8. Знайти загальний розв'язок диффенціального рівняння:

у"+6у'+13у=0 , Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

к -6& + 13 = 0, D = 36 -4-13 = -16,

— 6 — 4г

кх =     = -3 - 2г; к2 = -3 + 2г

Корені характеристичного рівняння є комплексно - спряженими, тому у, — e"3xcos2x, у,= e3x smlx - часткові розв'язки, a y=e"3x(C,cos2x + C,sin2x) - за-гальний розв'язок даного диференціального рівняння.

Приклад 9. Знайти частковий розв'язок диференціального рівняння у "-2у '+ ’ — 0 для початкової умови у(0) — 4; у (0) — 2.

Розвязання: Характеристичнерівнянняк2-2к+ 1=0, або(к- 1)2= 0маєдійсні рівні корені к — к —1, томуу — е*, у= хе* - часткові розв'язки, ау — ^{С+С^с) -загальний розв ’язок даного диференціального рівняння. Для визначення часткового розв'язкуспочаткузнайдемопохіднуу 'функціїу — e*(C,+Cjc):

у'= e*(C+С,х)/+ (e*)'(C,+Cjc) — ezC+ez(C+Cjc) — e'iC+C+Cjc).

y          v j        2 '        v/vi       2 '        2          vi         2 '        vi         2          2 '

Тепер підставимо початкові умови y вирази для уіу':

4 = е° ■ С)      Q = 4

О^ ^ або 1 о ^ , ^ , звідки С,— 4, С = -2 .

 

е (Сх + С2)     [2 = С] + С2   7          2

Підставившиці значення в загальнийрозв'язок, знайдемо частковийрозв'язок диференціального рівняння при даних початкових умовах:

у = ес-{4 - 2х) .

Розділ 9. Диференціальніріеняння