9.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Загальний вигляд такого рівняння:

у '+j{x)y — g(x) , деДх), g(x) - задані функції.

При g(x) =0 дане рівняння називають лінійним однорідним диференціальним рівнянням. Воно має вигляд:

і розв’язується методом відокремлення змінних.

ЯкщоДх) =0, то одержимо рівняння

у'= g{x) , яке розв’язується простим інтегруванням.

Одинз методів розв'язкулінійного диференціальногорівнянняполягаєувве-денні заміни невідомої функції}>(х) на добуток двох невідомих функцій и(х) та v(x). Тоді схема знаходження розв 'язку наступна:

-          підставимо добугок w(x) -v(x) в рівняння:

(wv) '+flx)(uv) — g(x), и \>+uv '+j{x)uv —g(x);

-          згрупуємо отримані доданки:

и V+w(v '+уДх)) — g(x);

-          функцію v(x) шукатимемо з умови v '+vfix) — 0;

-          знайдену функцію v — v(x), підставимов рівняння, одержимо и 4>(x)=g(x);

-          з останнього рівняння знайдемо функцію и — и(х) +с;

Розділ 9. Диференціальнірівняння

- запишемо загальний розв'язокрівняння як добугок знайдених функцій:

у — v(x)-(w(x)+c).

Приклад 4. Знайти загальний розв 'язок диференціального рівняння

y'-yctgx — sinx. Розв’язання: Дане рівняння є лінійним. Нехай у — uv, тоді у — и V+wv 'і рівняння набуде вигляду

и "v+uv -wvctgx — sinx, або

и V+w(v - vctgx) — sinx. Знайдемо функцію v з умови v' - vctgx — 0. Тоді для пошуку и отримаємо рівняння и V — sinx.

Розв'яжемо рівняння v - vctgx — 0, отримаємо:

dv        dv        , ,         ,

            ctgx = 0, — = ctgxax, In v = In sin x, v — sinx.

dx        v

Підставивши значення v в рівняння u V=sinx i розв'язуючи його, знайдемо u:

u'sinx — sinx, u'= \, du = dx, u = x+C.

Отже, загальний розв'язокрівняння має вигляд^ — (x+Qsinx.

Приклад 5. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння

у' + 2ху = 2х2е~х приумові: у = 0, якщох = 0.

Розв’язання: Нехай у — uv, тоді у' =u'v+uv'. Рівняння набупе вигляду

u'v + v'u + 2xuv = 2хге~*г' аб° u'v + (у' + 2xv) = 2х2е~*2 • Нехай v '+2xv = 0, тоді

dv        dv

— = —2 xv, — = -2xdx.

dx        v

Інтегруючи, отримаємо lnv — -x2, або v = e ■

При v = e~x рівнянняматимевигляд:

u'e~x =2x2e~x , — = 2x2, du = 2х2<іх,звідки u=—x+C-

dx        3

Загальний розв’язок даного диференціального рівняння у = е~х — х + С .

\3         )

Підставившив загальнийрозв'язокпочатковіумови, отримаємо: 0 — е°(0 + С), звідки

С= 0. Отже, частковийрозв'язокданогорівнянняпризаданійумові у = — х е~х .

Розділ 9. Диференціальніріеняння

гого поряд

зпостійнимико-