9.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Загальний вигляд такого рівняння:

X(x)V(y)dx+X,(x)V,(y)dy = 0, деХ(х),Х(х) функції тільки від х, a Viy), ^^-фуЕжціїтількивід^.

Поділивши обидві частини рівняння на добугок Х,(х)- Viy), отримаємо рівняння з відокремленими змінними:

Х(х) , VAy) ~-ах + —

dy = 0.

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:

I

Х[х

dx +

I

vjy)

dy = 0.

 

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Зауваження. Якщох = а, у = е єрозв'язками рівнянняХ(х)V(yy= 0, то функції ха, ув будуть розв'язками диференціального рівняння при умові, що при цих значеннях х і у рівняння не втрачає числового змісту. Геометрично ці розв'язки представляють собою прямі, паралельні осям координат.

Приклад 1. Розв'яжіть рівнянняу<іу — xdx. Знайдіть частковий розв'язок при умові у — 4, якщо х — -2.

Розв’язання: Це рівняння з відокремлюваними змінними. Інтегруючи знаходи-мо загальний розв 'язок рівняння:

2          2

\ydy= {xdx; ^ = ^ + С.

J          J          2 2

Для одержання більш простого за формою загального розв 'язку постійну ста-

лу в правій частині представимо у вигляді С/2, тодіу2 — х2+С. Підставивши в загаль-

ний розв'язок значенняу — 4 і х — -2, отримаємо 16 — 4+С, звідки С — 12. Отже,

частковий розв 'язок рівняння у2 — х2+12.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння: 2xsmydx+(x2+3)cosydy — 0; знайти частковий

р розв 'язок при умові V — —, якщо х—1.

Розв’язання: Поділимо кожний членрівняння на (x2+3)siny:

2xdx cos ydy

л          = (J

x2 + 3 sin y Інтегруючи способом підстановки, знаходимо

Г 2xdx f cos ydy _ J x +3 J sinj

Cj; In be + 31+ ln(sin y) = Cj

2xdx    cos ydy

d(x +3)            d(sin y)

+

+ 3       sin ^

2 X

+

 

Після потенціювання отримаємо (x2+3)-(siny) — e°l ,a6o(x2+3)-(siny)=C Оскільки, (x2+3)-siny — 0 при siny =0, i при цьому значенні диференціальне рів-няння не втрачає числового змісту TO siny — 0 - розв'язок рівняння. Але він входить в знайденийрозв'язок (x2+3)-siny=CnpH С—0, значить, загальний інтеграл рівняння

С         Р

х2+3

маєвигляд siny —      . Підставившивзагальнийінтеграл значенняу — — їх=\,

2          2

отримаємо 1= С/4, звідки С—4. Частковийрозв'язокрівняннямаєвигляд у

х +3

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Приклад 3. Розв'язати рівняння (1 +ех)уу '= е*. Знайти частковий розв'язок при умові:>> = 1, якщох = 0.

Розв’язання: Оскільки у' = —, то (1 + ех )у— = ех, звідси

dx        dx

(1 +ex)ydy = e'dx, ^— = In C(l + e x ).

Післяпотенціювання отримаємо: ey /2 =C(l + ex) ■ Підставимов загальнийрозв'язок}>=1 іх—0. Отримаємо

e =C(l + e ), Ve = 2C •

Звідси C =      . Отже, частковии розв язок рівняння при наших умовах має вигляд:

= ^\і + ех),абоУ2/

=

(і + ех),або2еу2/2=л/^(і + ех).