РОЗДІЛ 9. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 9.1.Основні поняття.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Фізичні закони часто описують певні співвідношення між величинами, що характеризують процес швидкістю та прискоренням зміни цих величин. Матема-тично такі закони записують як співвідношення між фуіжціями та їх похідними. Якщо функція, яка описує фізичний процес невідома, то отримуємо рівняння, яке назива-ють диференціальним. Отже, вивчення деяких фізичних процесів може буги заміне-но дослідженням розв'язків диффенціальних рівнянь.

Диференціальним рівнянням и-го порядку називають вираз F{x,y,y ',у "...у(п))=0, де х - незалежна змінна, у - невідома функція, у',у",...,у(п>- похідні невідомої фушсції.

Розв’язком диференціального рівняння називають будь-яку функцію, яка при підстановці її в рівняння перетворює його в тотожність.

Порядком диференціального рівняння називають порядок найстаршої похід-ної, яка входигь в це рівняння.

Наприклад,

а) у '+2у — sinx - рівняння I порядку;

5)         у"+у-2 — 0;

У"+ytgx = 0 -рівнянняII порядку; в) у "'+у "=уу'- рівняння III порядку Розв 'язки диференціальних рівнянь шукають за допомогою інтегрування.

Наприклад:

а) розв'язком диференціального рівняння I порядку

у'- 2х — 0 є:

у'= 2х,

у = 2xdx = х +С.

6)         розв'язком диференціального рівняння II порядку^ "- 2х — 0 є:

у'= V2xdx = x +С],

у= \{x2 + Cl)dx = — + Схх + С2.

3 наведених прикладів видно, що диференціальні рівняння мають не один, a безліч розв'язків, які визначені з точністю до постійних.

Доведено, що розв 'язки рівняння и-го порядку залежать від п довільних сталих

с„ с, ... с.

17        п

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Загальним розв’язком (загальним інтегралом) диффенціального рівняння на-зивають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Процес знаходження загальногорозв’язкуназивають інтегруванням диферен-ціального рівняння.

Геометрично, загальному розв’язку диференціального рівняння відповідає сукупність (сімейство) всіх інтегральних кривих.

Як приклад, зобразимо графічно розв’язки диференціального рівняння у'-2х =0(рис.1).

Поставимо задачу сфед усіх розв'язків диференціальногорівняння, знайтитой, який задовольнятиме певні умови. Такими умовами можуть бути значення функції та її похідних в фіксованій точці. Для наведеного прикладу (рис. 1), це означає, що

серед усіх інтегральних кривих треба вибрати ту яка проходить через точку з координатами (х„: ііхУ).

A(XQ, уо)

Узагальнюючи сказане введемо поняття початкової умови.

Початковими умовами називаюгь значен-ня фушсції та її похідних в заданій точці х .

рис.1

Розв’язок диференціального рівняння, який задовільняє заданим початковим умовам називають частковим розв’язком, а задачу знаходження часткового розв’ язку - задачею Кшш. Знаходження загального розв 'язку можливе лише для певних типів диференці-альних рівнянь. Розглянемо деякі з них.