8.10.Вправи:


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

1.         Дайте означення визначеного інтеграла.

2.         Перфахуйте основні властивості визначеного інтегралу.

3.         В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?

4.         Напишіть формулудля визначення гшощі плоскої фігури з допомогою визна-ченого інтегралу

5.         За якими формулами знаходиться об'єм тіла обертання?

6.         Напишіть формулудля обчислення пшяху пройденого тілом.

7.         Напишіть формулу для обчислення роботи змінної сили.

8.         За якою формулою обчислюється сила тиску рідини на пластинку?

9.         Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХфігури, обме-женої параболою у2 — х, прямою х — 2, віссю ОХ.

 

10.       Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням навкопо осі йУфігури, обме-женої параболоюу2 — х, прямими>>= 1,у — 4, віссю 0Y.

11.       Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю V— 2+At3 (V - в м/с). Обчисліть шлях, який пройпшо тіло за перші 3 секунди.

12.       Яку роботу потрібно виконати, щоб розтягнути пружину на 6 см, якщо сила в Шрозтягуєїїна 1 см?

13.       Обчислити силу тиску води на вертикальний прямокутний пшюз з основою 18 м і висотою 6 м.

14.       Обчислити визначені інтеграли

б)

15.       а) (Зх2 +—)dx;

J          х

ПхУх

16.       а)         ах ;

J 2

2 ^ 4 1W н— -ї)ах:

17.       a) \(3х

X

-1

8

- X)dx;

18.       a) (

-)3/ 2

о 3Vx

2 I       

ґл/іпх ,

б)         ах:

dx

жІ4

б)

х +2х + 5 dx

Jctgx ■ sin х

Лг/6

б)

sin 5х • sin Ixdx :

в) xlnxt&.

e 1

в) arcsinxt&.

лг/2

в) xcosxtfc.

1 B) xarctgxdx.

 

cos2x-cos7x<ix:

-nil

nil

f У /— б          f

19. a) (2x         ^x+—-)dx:      6)

 

B)Jh

B) In xdx. l

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

3                     

20. a) ()dx ;

Зх

nil

б) sin х ■ sin 4xdx ;

-гг/2

B) \xe dx

 

21 a) 2rl-2x + V^

I v        2          '

1          X

nlA

Я-/2     ln2

б) v3sinx +1 • cosxt& ; B) xe~xt& .

In

22. a) (cosx———)tfc;           6) U/l - cos x • sin Xtfc ;          B) ln|x|tfc.

nib

Зя /2

1/e

 

nib

яг/3

n

23. a) (smxH    —)dx;  6)         ox:;      в) xsmxax

cos x

J          1          J 3-cosx           J

яг/3

яг/2

Яг/6

<ix

2          4

яг/2

cos xdx

            ;

2 + sin x

sin fcft

            ;

1 + cos?

; 6)

24. a)

1 - 4 sin x + 4 sin

n/3

25. a) J2x(l + 2x)t&;    6)

Я-/2

ЯГ/6

esmx • COSXtfc ;

26.       a) (4-х)3й6с;   6)

4          0

3          1

27.       a) (4x -3x +2x + l)t&; 6) <?x xtfc;

-2 0

6) 3ex x dx ;

4 e^

28. a) (x + 1x)dx;

f /— 1  fe

л/х

29. a) Нліх—j=)dx ;    6) \j=dx;

 

i

в) h

arccosxtfc.

o

In

xdx.

B) arctg

s

B) x arctg xdx

o

e

B) In xdx .

lnx

dx.

B)

X

l

n/4

\ Г v 2  7

B) x?g XOX .

o

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

30. a)

x-1

VX

dx

<-\ Г    3X 7

6) \xe ax ;

I

B) (arcsinx) dx.

 

nil

31. a) (cos x - sin x)dx;

-nil

i

„ fin X

6)         dx;

J x

B) xlog 2X£/x .

 

тг/3

32. a) (

ЛГ/6

1          1

cos x sin x

fex )ax; 6) ~"x;

B)

шіг

njA

x

sin X

dx

 

dx ; cos x

Я-/4

f           1          ґ x Ox

33. a) ( smx)ax;            6)         ;

1 - 4x

cos x

J          2          J          3

-Я-/4

ln3 6)

Д/1

e ax

34. a)

c/x

i

ln2Ve2X"l

1/2 VH

f 3xax

6)         ;

J          X

. f ax

35.       a)         — ;

-0,5

o 1 + x

rsmlnx

6)         ax;

тг/4

5x

36.       a) cos2xax;

o

lnV3

dx

тсІА

6)

<—

-lnV3 0,5

37. a) Isin4xdx;

esmx ■ cosxax ;

6)

" r yjl + tg

6)

38. a) \(ex +—-)dx-

 JM 1 2

39. a) \{e н      x )dx;

-n/4

J          x

Розділ 8. Визначений інтеграл

B) [X ln(x + 1)йХ

0 e

B) xln3xox.

r           X ,

B) x sin — ш:.

l           ^

B) x3 sin xax.

ff/2

B) e2x cos xox.

Ttfl

\ Г 2     7

в) x cosxax.

1

ч f 3 2x 7

в) x e ax.

Обчисліть гшощу фігури, яка обмежена лініями. 4О.х-у + 2 — 0;у — 0,х — -1,х — 2.

41.       2х- 3>> + 6 = 0;}> = 0,х = 3.

42.       х -у + 3 — 0; х + у — 0, у = 0.

43.       х - 2у + 4 — 0; х +2>> - 8 = 0; у=х2,у = 0,х = 0,х = 'і. 44.у = х2; у = 0; х = 0, х = 3.

 

45.       >> = Зх2; >> = 0; х — -3, х = 2.

46.       у=х2 + 1; ^ = 0, х = -1,х = 2.

47.       >> = 0,5х2 + 2; >> = 0, х= 1,х = 3.

48.у = - —х2 + 3; у = 0,х = 0,х = 3. 3

49.       j2 = x; у>0, х = 0, х = 3.

50.       >> = -х2 + 2х+ 8; у — 0.

2 51- V = -~ х2 + х; v — 0. 9

52.       >> — -х2 + 6х - 6;>> — 0, х = 2, х = 3.

53.       у = — ;у = 0,х= 1,х = 3.

х

2 54. у— — ; у = 0, х =2, х = 4. х

л 55. v = cos х; у = 0, х = 0, х = — .

л

56.       v = tg х; v = 0, х = 0, х = —.

57.       j2 = 4x; x = 1,х = 9.

58.       j2 = 9х; х = 4.

л

59.       у = sin х; у = 0, х = - —, х = л.

60.       у — sin х; >> — 0, х = 0, х = 2 л.

Розділ 8. Визначений інтеграл

(Л.у = х2; у — - 3. 62.у = х2; у = 2х + 8. 63. у — х2; у — х + 2 .

64.у — — ~х2 - 4х + 10;у = х + 2.

Обчисліть об'єм тіл, утворених обертанням фігур навколо осі ОХ, обмежених фафіками функцій

65.       у — х2: у2 —х.

х4

66.       у = —; у = 0, х=2;

67.       у = sin x, у — 0, хє[0; л];

68.       у — Зх-х2;у = 0;

69.       у = х2,у = 0,х = 2; 10.у=\0 -х2,у = 0; 1\.у = х3,у = 0,х=\;

72. у — arcsinx, у — 0,х—1;

13. у = 2х - х2, у = 0;

74.       Швидкістьрухуточки v = (24?- 6?2) м/с. Знайдіть: а) шлях, пройденийточкою за 3 с від початку руху, б) шлях, пройдений точкою за третю секунду; в) шлях, прой-дений точкою від початкуруху до її зупинки.

75.       Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямі по прямій. Перше тіло рухається з швидкістю v — {At +5) м/с, друге - з швидкістю v — (6?2+2t) м/с. На якій відстані одне від одного вони будуть через 5 с?

76.       Тіло, кинуге з повфхні Землі вертикально вгоруз швидкісгю v— (39,2 - 9,8?) м/с. Знайти найбільшу висоту піднімання тіла.

77.       Пружина розтягується на 0,02 м під дією сили 60 Н. Яку роботу виконує ця сила, розтягуючи пружину на 0,12 м2.

78.       ПружинавспокійномустанімаєдовжинуОД м. Силав 20 Н розтягує її на 0,01 м.Якуроботутребавиконати, щоброзтягтиїївід 0,12мдо0,14м?

79.       Циліндричний стакан заповнено олією. Обчисліть силу тиску олії на бічну повфхню стакана, якщо його висота//=0,08 м і радіус основиТ? — 0,04 м. Густина олії 900 кг/м3.

80.       Обчисліть силу тиску води на дно і стінки акваріума, сторони якого 0,8x0,5x0,3. Акваріум доверху заповнений водою.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Дослідиги збіжність невластивих інтегралів.

81. a) \хе %dx ;

so 2 r

rx ax

b)         ;

l + xJ

J

rlnx ,

c)         dX;

• X

 

so

xdx

p xax    c

82. a) —          ;           b)

•L        *

х +9

so 2 7

 х ax

sTi

 c x ax

83. a)   ;

x3+l

J 3

-l

n          Г 3 -X 7

o4. a) x e ax;

=0        x

85.       a) \xe 2dx;

o

86.       a) \e xdx',

dx

(x-1)2

r xdx

b)         ;

x +4

J

SO       2

X

f X

b)         dx ;

1 + x6

xdx (x2-\f

J          6

b)

dx

toe

J x +1

c) \xlnxdx;

1 c) lnxJx;

o

so        2

Г *       r

C,J77TA;

f fi&C

c) i       =;

2 ^/(4 - x) 2

rJx c) —;

o x

 

г xJx

87. a) , -;

o v4 - Xі

 

b)

lnx

X

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

Визначений інтеграл (1)

Означення

Геометричний зміст Інтеграл як границя інтегральних сум

 

-.F{b)-F(a)

--F(x)

f(x)dx = f(x)dx

Визначений інтеграл рівний приросту довільної первісної функції F(x) на проміжку [a; Ь].

 

0 а       Ь X

Площа криволінійної трапеції.

Властивості

у=Л*)

/(-.)

и          П

\f(x)dx = lim Y/(c,)Ax,

\f(x)dx = 0 \f(x)dx = -\f(x)dx \ f(x)dx = \f(x)dx + \f(x)dx,          a<c<b

a          a          b          a          a          c

b          b          b          b          b

\ (/i (x) + /2 (x))dx =\fi (x)dx + \ f2 (x)dx \ Cf(x)dx = C\ f(x)dx,           C -

- const

Застосування визначеного інтегралу

 

0 a

b X

у=№

0 a

b x

 

Y         :                      

у=Ч>і(х)                      /$s       ^^ У=Ч>2(х)

0          a          c          b X

 

S = \ f(x)dx

S = -jf(x)dt

$ = ]ш*)-№))л

s = sx+s2

Визначений інтеграл (2)

Обчислення шляху

: jv(t)dt

[t tj - проміжок часу, V(f) - швидкість

Обчислення иоботи

ь A = JF(x)dx

a

[a, b] - переміщення, F(x) - сила

 

Обчислення об'смів тіл обеитання

--xif2(x)dx

Наближені методи обчислення визначеного інтегиалу

Формули прямокутників      Формула трапеції

ь          ,           ь          ,           ь          ,

\ydx=   (Уь+У\+-+Уп-\) \ydx =          (yl+y2+...+yn_l)           \ydx =  ( u " +yx

+Уі+-+У„-і)

 

X