8.9. Невластиві інгеграли.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Інтеграли з нескінченими межами інтегрування або від функцій, які мають не-скінченийрозрив називають невластивими.

Невластиві інтеграли з нескінченими межами інтегрування визначакпь насту-пним чином:

Розділ 8. Визначений інтеграл

 

b

f{x)dx = lim \f{x)dx ;

^          b—»oo J

aa

db

\ f{x)dx = lim \f{x)dx ;

•*        J

a—>—oo

-co       a

=o        eft

\g(x)dx= lim Г/(Х)Й6С+ lim [/(х)йбс;

a

a—>-a>          /?—»X

 

де c - довільне дійсне число.

Невластиві інгеграли від фуіжцій з нескінченими розривами також визначають чфез граничний пфехід.

Якщо функція розривна на одному з кінців відрізка інтегрування, наприклад, в точціх=й, то

\f(x)dx = lim I f(x)dx ;

aa

якщо ж функція f(x) має безмежний розрив в точці х — с, де с є [a; b] і неперервна в усіх інших точках цього проміжку, то

b          с-є       b

\f(x)dx = lim [ f(x)dx + lim [ f(x)dx

a          a          с+є

Якщо приведені вище границі існують для конкретного інтеграла, то його називають збіжним; якщо ж гранщі не існують - розбіжним.

Оскільки обчислення границь - трудомістка робота, то деколи для вста-новлення збіжності невластивого інтегралу можна скористатись ознакою порів-няння:

х

Ознакапорівняння: Нехай І/(х) <F(x) при х > а Тоді,якщо F(x)dx

a

х збіжний, то й f(x)dx буде збіжним.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Геометрично, в прямокутній системі координат, невластивий інтеграл - це пло-ща криволінійної трапеції з нескінченою основою або "не закритої" зверху.

 

У         ^£х?+] ~-~~—, х

0                     

г 1

Приклад 1: Обчислити інтеграл — dx .

—к      и—      r J 2

 X

Роз'язання: Це невластивий інтеграл з верхньою межею рівною оо • Згідно з означенням

x1 I ) = lim

Ь—»0O           Ь—>GC

х) 1      Ь 1       ь

\—-dx = lim f—-dx = lim \x~ dx = lim(

Ь—>OD

Ь—>GO

 

1          1

— + —

ft 2

 

Отже, інтеграл збіжний.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Приклад 2: Обчислити інтегоал \\nxdx.

Розв’язання: Це невластивий інтеграл, бо функція у = ІП X невизначена в

т. х = 0 і lim In х = -оо . Згідно з означенням

і-»0

Іпхйбс^ііт Іпхйбс

є

є->0

Обчислимо

In xdx

частинами:

11 1

Г          AC      1

I In xdx = х In x\ - I x ■ — dx = (x In x - x)\ = -1 - (<? In e - s).

 

Є        

u =h\x  1

du = — dx

            X

dv — dx          v = x

Отже,

ІП£

lim [in xdx = lim(-l - (s In s - s)) = -1 - lim s In s = -1 - lim —-

£

= -1 - lim^ = -1 + lim є = -1

e->0 1 £->0

"7

При знаходженні границі lim Є In Є застосовано правило Лопіталя.

£->0

Відповідь: Jlnjafc = -1.

Розділ 8. Визначений інтеграл