8.8. Практичне застосування визначеного інгегралу.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

За допомогою визначеного інтегралу можна розв ’язувати задачі фізики, меха-ніки і т.д., які важко або неможливо розв’язати методами елементарної математики. Так, поняття визначеного інтегралу використовують при розв ’язанні задач на обчи-слення площі фігур, роботи змінної сили, тиску рідини на вертикальну поверхню, шляху, пройденого тілом та ряду інших. Розглянемо деякі 3 них.

Обчислення площ плоских фігур.

Якщо фігура Ф є криволінійною трапецією, то її площа S, згідно з геометрич-ним змістом визначеного інтегралурівна:

SJ, = \f(x)dx

Якщо ж фігура Ф не є криволінійною трапецією, то обчислення її площі зво-диться до одного з наступних випадків: а) кривау =j(x)< 0 на [а; Ь],

y =j(x)

 

Y ^

Ь          X

Рис. 8а.

Y ♦

a          b

y=f(x) Рис. 86.

X

в цьому випадку плошу можна обчислити за формулою:

$Ф = \\f(x)\dx ;

б) якщо(х) — (р(х)+(р(х) на [а; Ь],

Розділ 8. Визначений інтеграл

Y L

y=(pi(x)

y=q>2(x)

0 a

c          b

рис.9

X

в цьому випадку ддя знаходження гшощі фігури знаходять точку с, як абсцису точки перетину графіків функцій у=ф,(х) та у=и>Ах), а площу обчислюють за формупою:

S4> =

f(x)dx - <px (x)dx + (p2 (x)dx ;

в) якщо фігура обмежена двома кривими у —f,(x) та у — fJx), (f,(x)>fJx) на [a; bj),

 

Yk-

b X 0

 

0 a

X

y—f2(x)

Рис. 1 Oa.

0          X

У=/2(Х)

Рис. 106.

в цьому випадку плошу фігури S, знаходять за формупою:

b          b

5*A = |/J(x)<ir- \f2(x)dx .

Приклад 12. Обчислитиплошуфігури, обмеженоїгіпфболоюху—1, віссю 0Х і прямими х — 1; х — е (рис. 11).

Розділ 8. Визначений інтеграл

 

Розв’язання: Використавши формулуобчислення гшощі кривопінійноїтрапеції, отримаємо:

Ьф = \—ах = ш\х\ : х

е

 lne-lnl = 1-0=1;

Відповідь: S—1 кв.од.

Приклад 13. Обчислити гшощу фігури обмеженої лініямиу — х2 іу2 — х (рис. 12).

Y

 

рис.12.

Розв’язання: Знайдемо границі інтегрування, тобто абсциси точок перетину фафіків функційу — х2 іу2 — х. Для цього розв'яжемо систему:

\у2=х

Маємо (х2)2 — х; х4-х — 0; х(х3-\) — 1; х,— 0, х = 1. Отже, а—0;Ь—1.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Обчислення ішощі фігури зводитьсядо випадкув) при/^х) — *fx , f2(x) — х2, тому

1          1          1

ISJ, = U/x-x рх= \\xdx— х dx

0

3/2

3/2

 

з

0

X

1

 

2          /— х

— x-v/x          

3          3

0

 

2          3 3

Відповідь: 5 =1/3 кв.од.

Приклад 14. Обчислити площу фігури обмеженої параболами y — 4-х2; у — х2-2х(рис. 13).

у=х -IX

X

Y 4

у=4-х Рис.13.

Розв’язання: Знайдемомежі інтегрування, тобто абсциситочок перетину гра-фіків функційу — 4-х2 \у — х2-2х. Для цього розв'яжемо систему:

I у=4-х

[у = х - 2х.

Маємо: 4-х2 — х2-2х; 2х2-2х-4 — 0; х2-х-2 — 0, 1±л/ї+8 1±3

1,2

 

; X] = -1, х2 = 2

2          2

Шукану площу обчислюємо за формулою

Розділ 8. Визначений інтеграл

2          2          2—12

 

^Ф = \4_X )~\x ~2х)Ух= І4-2х -\-2xpx = 4 \dx-2 \x dx + 2 \xdx

-1

-1

-1

2          3 X

-2—    2 2 X

+ 2 —

-1        3          -1 2

4x -2— +2— =4(2 + 1)          (8 + 1) + 4 — 1 = 12 — 6 + 3 =9 .

Відповідь: S = 9 кв. од.

Об’смтілаобертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навкопо осі ЙХкриволінійної трапеції аАВЬ, обмеженої неперервною кривою у — (х), (де а<х<Ь), відрізком [а; Ь] осі 0Х\ відрізками прямих х = а і х = Ь (рис. 14), обчислюється за формупою:

V = л \f (x)dx.

Yk

b\\\ X

рис.14

Приклад 15. Обчислити об’єм купі радіусомR (рис. 15).

Розв’язання: Купя утворена обертанням навколо осі ОХ круга, обмеженого колом х2+у2 — R2 з центром в початку координат і радіусом R.

R X

Y

рис.15

Враховуючи симетрію круга відносно осі ординат, спочатку знайдемо полови-иу шуканого об’єму:

Розділ 8. Визначений інтеграл

к          к          к

o

Vk = л \\R -х ax = nR dx- \x dx = nR X

o

R

7IX

R

 

7JR

nR" 3nR3-nR3 InR? \   2 n3 , r ^

— =     =          ; —Vk=—7iR (куо.оо.).

3          3          3 2       3

 

Відповідь: y

 

71R 3 (куб. ОД).

Шлях, пройдений точкою.

Якщо точка рухається прямопінійно і її швидкість V— V(t) є відома функція часу то пшях, який пройпша точка за проміжок часу t<t< L, обчислюється за формупою:

?          JT        Г          -'12'     L Г J

ч

S = V(t)dt

Приклад 16. Тіло рухається прямолінійно із швидкістю V— 0,1?3 (V- в м/с). Знайти пшях, пройдений тілом за 10 с.

Розв’язання: Використовуючи формулу знаходимо:

2          іи

S= \V(t)dt = 0,1? dt

l

1 Ґ

             •        

10 4

10 1

=         

0 40

•10 = 250 (м)

Відповідь: S = 250 (м)

Приклад 17. Швидкість тіла, що рухається прямолінійно дорівнює V— (4t-f) (V-Bм/с). Обчислитишлях, якийпройпшотіловідпочаткуруху дозупинки. Розв’язання: В момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю, тобто At-f= 0, t(4-t) — 0, t,— 0; t. — 4.

 i          2

Отже, тіло зупиниться через 4 с.

Шлях, який пройпшо тіло за цей час, обчислюємо за формулою:

^2        4 ,        ,44

S = \V{t)dt= yAt-t \dt = A\tdt- \t dt

0

 

f

2

0

3

0

„ 1       1          2 . .

 2-16   64 = 32-21—= 10— (M)

3          3          3

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

п 2, , Відповідь: о=10—(м) 3

Роботасили.

Якщо змінна сила F— F(x) діє в напрямку осі ОХ, то робота сили на відрізку а<х<Ь обчислюється за формулою:

ь А= \F(x)dx .

a

Приклад 18. Обчислити роботу сили, яка потрібна при стисканні пружини на 0,08 м, якщо для стискання її на 1 см, потрібна сила 1ОН.

Розв’язання: Згідно закону Гука, силаF, якарозтягує чи стискає пружинунах метрів, дорівнює і7 = Ах, де к- коефіцієнт пропорційності.

Отже, 10 = £-0,01,тобтоА:= 1000, звідсиі^^Ах^ЮООх.

Шукану роботу знаходимо за формулою:

 

u,us      2

X

А = \F(x)dx = \l00xdx = 1000

0,08

 0,0064            „

= 1000 = 3,2 (Дж).

2 0

Відповідь: A = 3,2 (Дж).

Приклад 19. Сила 196,2 Нрозтягуєпружинина 18 см. Якуроботувонавиконує?

Розвязання: Згідно законуГука F= кх, звідси к = — =      = 1090(Н/м),

х 0,18

F= 1090х. Знаходимошукануроботу:

Q 1 Q

1090х

[

0,18

А= 1090xtfe

545-0,0324» 17,7 (Дж).

Відповідь: А = \1,1 (Дж).

Приклад 20. Для стискання пружини на Зсм необхідно виконати роботу в 16Дж. На яку довжину можна стиснути пружину, виконавши роботу в 144Дж? Розв’язання: Згідно закону Гука, F = kx; тоді

 

-          2

кх

Ах = \kxxd

о

0,03

0,0009&

=          (Дж).

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

Тому. що А=\ 6 Дж, то

0,009&            •          ,           32        320000 /г, ,

            = 16, ЗВІДСИ к =      =          (ЯЛ

2          0,0009 9

Отже, F— (3200/9)х. Далі матимемо:

320000            320000 х

Г320000 ,

А2 =    хах

9

J

a

160000

2

a

Але А. = 114 Дж, тобто:

160000 2 ,, 2 9-144 т

            а =П4, a =       , a = 0,0081, a = 0,09(CM) .

9          160000

Відповідь: Пружину можна стиснути на 9 см.

Силатискурідини.

Сила тиску Р рідини густиною р на вертикальну пластину, занурену в рідину. обчислюється за формулою:

ь Р = pg Sdx .

a

Де g — 9,81 м/с2- прискорення вільного падіння, S - площа гшастинки, а глибина занурення пластинки змінюється від а до Ь.

Приклад 21. Обчислити силу тиску води на одну із стінок акваріума, довжиною 30 см і висотою 20 см.

Розв’язання: Стінка акваріума має форму прямокутника, тому5*= 0,3х, де 0 < х < 0,2. Густина води дорівнює 1000 кг/м3. Тоді сила тиску води на стінку акварі-ума, обчислюється за формулою:

 

U,z       2

X

ь

Р = pg &йс = 1000-9,81 0,3хііх=9810-0,3

a

0,2

= 9810-0,3-0,02 = 58,86 (Н)

Відповідь: Р = 58,86(Я).

Приклад 22. Обчислити силу тиску бензину на стінки циліндричного баку ви-сотою 3 м і радіусом основи 1 м.

Розв’язання: Площа поверхні стінки циліндричного бакуS— 2nRx — 2лх, де 0<х< 3. Густина бензину - 800 кг/м3. Тоді сила тиску бензину на стінки баку буде:

Розділ 8. Визначений інтеграл

p

800-9,81 YlTDcdx = 7848 -2я—

J          2

7848 • к ■ 9 « 220000 (H)

Відповідь: P = 2,2 • 105 (H).

Приклад 23. Обчислити тиск води на занурену в неї вертикальну трикутну пла-стинку, з основою 6 м і висотою 2 м, вважаючи, що вершина трикутника лежить на поверхні води, а основа паралельно їй (рис. 16).

 

            В        

м                     N

— Е

A         >          С

рис.16.

Розв’язання: Нехай NM - іпирина гшастишси на рівні BE—х. 3 подібності трику-тників АВСі MBN, знаходимо

MN BE           AC BE 6х

            =          , або MN =     = — = Зх.

AC BD            BD       2

Використавши формупу одержимо:

Р = pg\ Sdx = 1000 • 9,81 3xdx =9810 • 3

3

0

9810-х

0

9810-8 = 78480(Н).

Відповідь: Р = 78480(Я).