Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
8.8. Практичне застосування визначеного інгегралу. : Вища математика : Бібліотека для студентів

8.8. Практичне застосування визначеного інгегралу.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

магниевый скраб beletage

За допомогою визначеного інтегралу можна розв ’язувати задачі фізики, меха-ніки і т.д., які важко або неможливо розв’язати методами елементарної математики. Так, поняття визначеного інтегралу використовують при розв ’язанні задач на обчи-слення площі фігур, роботи змінної сили, тиску рідини на вертикальну поверхню, шляху, пройденого тілом та ряду інших. Розглянемо деякі 3 них.

Обчислення площ плоских фігур.

Якщо фігура Ф є криволінійною трапецією, то її площа S, згідно з геометрич-ним змістом визначеного інтегралурівна:

SJ, = \f(x)dx

Якщо ж фігура Ф не є криволінійною трапецією, то обчислення її площі зво-диться до одного з наступних випадків: а) кривау =j(x)< 0 на [а; Ь],

y =j(x)

 

Y ^

Ь          X

Рис. 8а.

Y ♦

a          b

y=f(x) Рис. 86.

X

в цьому випадку плошу можна обчислити за формулою:

$Ф = \\f(x)\dx ;

б) якщо(х) — (р(х)+(р(х) на [а; Ь],

Розділ 8. Визначений інтеграл

Y L

y=(pi(x)

y=q>2(x)

0 a

c          b

рис.9

X

в цьому випадку ддя знаходження гшощі фігури знаходять точку с, як абсцису точки перетину графіків функцій у=ф,(х) та у=и>Ах), а площу обчислюють за формупою:

S4> =

f(x)dx - <px (x)dx + (p2 (x)dx ;

в) якщо фігура обмежена двома кривими у —f,(x) та у — fJx), (f,(x)>fJx) на [a; bj),

 

Yk-

b X 0

 

0 a

X

y—f2(x)

Рис. 1 Oa.

0          X

У=/2(Х)

Рис. 106.

в цьому випадку плошу фігури S, знаходять за формупою:

b          b

5*A = |/J(x)<ir- \f2(x)dx .

Приклад 12. Обчислитиплошуфігури, обмеженоїгіпфболоюху—1, віссю 0Х і прямими х — 1; х — е (рис. 11).

Розділ 8. Визначений інтеграл

 

Розв’язання: Використавши формулуобчислення гшощі кривопінійноїтрапеції, отримаємо:

Ьф = \—ах = ш\х\ : х

е

 lne-lnl = 1-0=1;

Відповідь: S—1 кв.од.

Приклад 13. Обчислити гшощу фігури обмеженої лініямиу — х2 іу2 — х (рис. 12).

Y

 

рис.12.

Розв’язання: Знайдемо границі інтегрування, тобто абсциси точок перетину фафіків функційу — х2 іу2 — х. Для цього розв'яжемо систему:

\у2=х

Маємо (х2)2 — х; х4-х — 0; х(х3-\) — 1; х,— 0, х = 1. Отже, а—0;Ь—1.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Обчислення ішощі фігури зводитьсядо випадкув) при/^х) — *fx , f2(x) — х2, тому

1          1          1

ISJ, = U/x-x рх= \\xdx— х dx

0

3/2

3/2

 

з

0

X

1

 

2          /— х

— x-v/x          

3          3

0

 

2          3 3

Відповідь: 5 =1/3 кв.од.

Приклад 14. Обчислити площу фігури обмеженої параболами y — 4-х2; у — х2-2х(рис. 13).

у=х -IX

X

Y 4

у=4-х Рис.13.

Розв’язання: Знайдемомежі інтегрування, тобто абсциситочок перетину гра-фіків функційу — 4-х2 \у — х2-2х. Для цього розв'яжемо систему:

I у=4-х

[у = х - 2х.

Маємо: 4-х2 — х2-2х; 2х2-2х-4 — 0; х2-х-2 — 0, 1±л/ї+8 1±3

1,2

 

; X] = -1, х2 = 2

2          2

Шукану площу обчислюємо за формулою

Розділ 8. Визначений інтеграл

2          2          2—12

 

^Ф = \4_X )~\x ~2х)Ух= І4-2х -\-2xpx = 4 \dx-2 \x dx + 2 \xdx

-1

-1

-1

2          3 X

-2—    2 2 X

+ 2 —

-1        3          -1 2

4x -2— +2— =4(2 + 1)          (8 + 1) + 4 — 1 = 12 — 6 + 3 =9 .

Відповідь: S = 9 кв. од.

Об’смтілаобертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навкопо осі ЙХкриволінійної трапеції аАВЬ, обмеженої неперервною кривою у — (х), (де а<х<Ь), відрізком [а; Ь] осі 0Х\ відрізками прямих х = а і х = Ь (рис. 14), обчислюється за формупою:

V = л \f (x)dx.

Yk

b\\\ X

рис.14

Приклад 15. Обчислити об’єм купі радіусомR (рис. 15).

Розв’язання: Купя утворена обертанням навколо осі ОХ круга, обмеженого колом х2+у2 — R2 з центром в початку координат і радіусом R.

R X

Y

рис.15

Враховуючи симетрію круга відносно осі ординат, спочатку знайдемо полови-иу шуканого об’єму:

Розділ 8. Визначений інтеграл

к          к          к

o

Vk = л \\R -х ax = nR dx- \x dx = nR X

o

R

7IX

R

 

7JR

nR" 3nR3-nR3 InR? \   2 n3 , r ^

— =     =          ; —Vk=—7iR (куо.оо.).

3          3          3 2       3

 

Відповідь: y

 

71R 3 (куб. ОД).

Шлях, пройдений точкою.

Якщо точка рухається прямопінійно і її швидкість V— V(t) є відома функція часу то пшях, який пройпша точка за проміжок часу t<t< L, обчислюється за формупою:

?          JT        Г          -'12'     L Г J

ч

S = V(t)dt

Приклад 16. Тіло рухається прямолінійно із швидкістю V— 0,1?3 (V- в м/с). Знайти пшях, пройдений тілом за 10 с.

Розв’язання: Використовуючи формулу знаходимо:

2          іи

S= \V(t)dt = 0,1? dt

l

1 Ґ

             •        

10 4

10 1

=         

0 40

•10 = 250 (м)

Відповідь: S = 250 (м)

Приклад 17. Швидкість тіла, що рухається прямолінійно дорівнює V— (4t-f) (V-Bм/с). Обчислитишлях, якийпройпшотіловідпочаткуруху дозупинки. Розв’язання: В момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю, тобто At-f= 0, t(4-t) — 0, t,— 0; t. — 4.

 i          2

Отже, тіло зупиниться через 4 с.

Шлях, який пройпшо тіло за цей час, обчислюємо за формулою:

^2        4 ,        ,44

S = \V{t)dt= yAt-t \dt = A\tdt- \t dt

0

 

f

2

0

3

0

„ 1       1          2 . .

 2-16   64 = 32-21—= 10— (M)

3          3          3

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

п 2, , Відповідь: о=10—(м) 3

Роботасили.

Якщо змінна сила F— F(x) діє в напрямку осі ОХ, то робота сили на відрізку а<х<Ь обчислюється за формулою:

ь А= \F(x)dx .

a

Приклад 18. Обчислити роботу сили, яка потрібна при стисканні пружини на 0,08 м, якщо для стискання її на 1 см, потрібна сила 1ОН.

Розв’язання: Згідно закону Гука, силаF, якарозтягує чи стискає пружинунах метрів, дорівнює і7 = Ах, де к- коефіцієнт пропорційності.

Отже, 10 = £-0,01,тобтоА:= 1000, звідсиі^^Ах^ЮООх.

Шукану роботу знаходимо за формулою:

 

u,us      2

X

А = \F(x)dx = \l00xdx = 1000

0,08

 0,0064            „

= 1000 = 3,2 (Дж).

2 0

Відповідь: A = 3,2 (Дж).

Приклад 19. Сила 196,2 Нрозтягуєпружинина 18 см. Якуроботувонавиконує?

Розвязання: Згідно законуГука F= кх, звідси к = — =      = 1090(Н/м),

х 0,18

F= 1090х. Знаходимошукануроботу:

Q 1 Q

1090х

[

0,18

А= 1090xtfe

545-0,0324» 17,7 (Дж).

Відповідь: А = \1,1 (Дж).

Приклад 20. Для стискання пружини на Зсм необхідно виконати роботу в 16Дж. На яку довжину можна стиснути пружину, виконавши роботу в 144Дж? Розв’язання: Згідно закону Гука, F = kx; тоді

 

-          2

кх

Ах = \kxxd

о

0,03

0,0009&

=          (Дж).

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

Тому. що А=\ 6 Дж, то

0,009&            •          ,           32        320000 /г, ,

            = 16, ЗВІДСИ к =      =          (ЯЛ

2          0,0009 9

Отже, F— (3200/9)х. Далі матимемо:

320000            320000 х

Г320000 ,

А2 =    хах

9

J

a

160000

2

a

Але А. = 114 Дж, тобто:

160000 2 ,, 2 9-144 т

            а =П4, a =       , a = 0,0081, a = 0,09(CM) .

9          160000

Відповідь: Пружину можна стиснути на 9 см.

Силатискурідини.

Сила тиску Р рідини густиною р на вертикальну пластину, занурену в рідину. обчислюється за формулою:

ь Р = pg Sdx .

a

Де g — 9,81 м/с2- прискорення вільного падіння, S - площа гшастинки, а глибина занурення пластинки змінюється від а до Ь.

Приклад 21. Обчислити силу тиску води на одну із стінок акваріума, довжиною 30 см і висотою 20 см.

Розв’язання: Стінка акваріума має форму прямокутника, тому5*= 0,3х, де 0 < х < 0,2. Густина води дорівнює 1000 кг/м3. Тоді сила тиску води на стінку акварі-ума, обчислюється за формулою:

 

U,z       2

X

ь

Р = pg &йс = 1000-9,81 0,3хііх=9810-0,3

a

0,2

= 9810-0,3-0,02 = 58,86 (Н)

Відповідь: Р = 58,86(Я).

Приклад 22. Обчислити силу тиску бензину на стінки циліндричного баку ви-сотою 3 м і радіусом основи 1 м.

Розв’язання: Площа поверхні стінки циліндричного бакуS— 2nRx — 2лх, де 0<х< 3. Густина бензину - 800 кг/м3. Тоді сила тиску бензину на стінки баку буде:

Розділ 8. Визначений інтеграл

p

800-9,81 YlTDcdx = 7848 -2я—

J          2

7848 • к ■ 9 « 220000 (H)

Відповідь: P = 2,2 • 105 (H).

Приклад 23. Обчислити тиск води на занурену в неї вертикальну трикутну пла-стинку, з основою 6 м і висотою 2 м, вважаючи, що вершина трикутника лежить на поверхні води, а основа паралельно їй (рис. 16).

 

            В        

м                     N

— Е

A         >          С

рис.16.

Розв’язання: Нехай NM - іпирина гшастишси на рівні BE—х. 3 подібності трику-тників АВСі MBN, знаходимо

MN BE           AC BE 6х

            =          , або MN =     = — = Зх.

AC BD            BD       2

Використавши формупу одержимо:

Р = pg\ Sdx = 1000 • 9,81 3xdx =9810 • 3

3

0

9810-х

0

9810-8 = 78480(Н).

Відповідь: Р = 78480(Я).