8.7. Наближені методи обчислення визначених інтегралів.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

В тих випадках, коли обчислити визначений інтеграл за формупою Ньютона-Лейбніца неможливо або важко, використовують методи наближеного інтегруван-ня. Всі вони ґрунтуються на простих геометричних побуцовах. Очевидно, що при достатньо малому відрізку [a; Ь] площа S криволінійної трапеції наближено рівна площі прямокутника (“лівого” прямокутника рис. 4а, та “правого” прямокутника рис. 4.6), трапеції (рис. 5) або параболи (рис. 6).

Y і1

f(x)

Y A

 

f(a

f(b)

0 a       b X

рис.4а

0 a       b X

рис.4б.

 

Y

0 a       b X

рис. 5

 

f(a)

Y

f(b)

0 a       b

рис. 6

X

Запишемо наступні наближені рівності:

S=i(b - a)-j(d) (рис. 4a);

Розділ 8. Визначений інтеграл

S ~ (b - a)-fib) (рис. 46);

S ~{b-a)

f(b) + f(a)

(рис. 5);

 

b — a I ., a J a + b

S «       | ]{a) + 4/

b

/ ("> (рис. 6) .

Щоб добитися більшої точності при знаходженні площі S, проміжок від а до b розбивають на п рівних частин (рис. 7) (при наближенні параболами проміжок розбивають на 2« частин).

Y

Хо Х\ Х2 Хз

рис.7

X;

хп

X

Якщо для кожної з маленьких дуг використати попередні наближення, то для всієї площі S отримаємо наближене значення представлене у вигляді суми площ криволінійних трапецій:

і           п-і

b - a v-i /

S ~      > / (x,-) ;

b -a v-i /

S ~      /,j(xi) i

n л

 

S

 

b — a

П

f(x,) + fix ) ^-i

            h > / (Xj)

i-\

 

S

b — a

{УО + Угп + 4(yi + y3 +... + J2n-1) + 2ІУі +УА+-- + У2п-2 )

Перші дві формупи носять назви формуп "лівих" та "правих" прямокутників відповідно, третя - формупи трапеції, а остання - формупи Сімпсона.

Розділ 8. Визначений інтеграл

Приклад 11. Обчисдити заформупамипрямокутниківтатрапецій sinx2dx

при«=10.

Розв'язання: Поділимо відрізок [0; 1] на (п— 10) задану кількість частин. Тоді складемо таблщю значень підінтегральної функції в точках розбиття.

 

і           X.        X2       у.= sin x2

•"l 1

0          х = 0

и          х 2 = 0

и          У„= о

-' и

1          х = 0,1

і           х,2 = 0,01

і           у = 0,01

-' і

2          х = 0,2

2          х 2 = 0,04

2          у = 0,04

-' 2

3          х = 0,3

3          х 2 = 0,09

3          у = 0,0899

^ 3

4          х = 0,4

4          х/ = 0,16

4          у = 0,1593

-' 4

5          х = 0,5

5          х 2 = 0,25

5          у = 0,2474

-'5

6          х = 0,6

6          х 2 = 0,36

6          у = 0,3523

-' 6

7          х = 0,7

7          х 2 = 0,49

7          у = 0,4706

-'7

8          х = 0,8

S          х 2 = 0,64

S          у = 0,5972

-' S

9          х = 0,9

У         х9„ = 0,81

2          у = 0,7243

-/ У

10        х= 1

10        X 2 =1

10        у = 0,8415

J 10

За формупою "лівих" прямокутників матимемо:

Ь — a

п-\

5 «

п

у f(Xj) = 0,1(0 + 0,01 + 0,04 + 0,0899 + 0,1593 + 0,2474

(-0

+ 0,3523 + 0,4706 + 0,5972 + 0,7243) = 0,1 • 2,6910 = 0,2691 За формупою "правих" прямокутників матимемо:

b - a

S «

п

j (х,-) = 0,1(0,01 + 0,04 + 0,0899 + 0,1593 + 0,2474

(-1

+ 0,3523 + 0,4706 + 0,5972 + 0,7243 + 0,8415) = 0,1 • 3,5325 = 0,3525

Розділ 8. Визначений інтеграл

За формулою трапецій отримаємо:

о 0,1і 0 + 0,8415        I

& «1    1-0,01 + 0,04 + 0,0899 + 0,1593 + 0,2474 + 0,3523 + 0,4607 + 0,7243 =0,3112.

V 2      )

Для досягнення більшої точності число розбиттів відрізка треба збільшити, наприклад взяти п = 20.