8.5. Обчислення визначеного інтеграла методом підстановки.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Обчислення визначеного інтеграла методом підстановки виконується в такій послідовності:

1)         ввести нову змінну;

2)         знайти диференціал нової змінної;

3)         знайти нові межі визначеного інтегралу;

4)         весь підінтегральний вираз виразити через нову змінну;

5)         обчислити отриманий інтеграл.

Приклад 5. Обчислити інтеграл:

dx

УІ8- х

Розв’язання: Зробимо заміну 8-х — t, тоді -dx =dt, dx — -dt. Визначимо межі інтегрування для змінної t. При х — 0 отримаємо t — 8-0 — 8, при х — 7 отримаємо t = 8-7 — 1. Виразимо підінтегральний вираз через t і dt та перейдемо до нових меж, отри-маємо:

2/3

t ax      t—at г —і/з і г —і/з і

L,,        = I ^ j— — — \t at — \t at

2/3

IW^ I4t 1 i

3 (3/77 ,1 3     3 9

2 2

= —U/64 -1!=—(4-1) =—3 = — = 4,5

1

—\t

8

 

Розділ 8. Визначений інтеграл

2

Ґ х dx

Приклад 6. Обчислити інтеграл: I  —

—        -ч3+?)2

{ \Х т Z J

Розв’язання: Вважатимемо, щох3+2 — t, тоді 3x2dx —dt, x2dx — — dx . Визначимо

межі інтегрування для змінної t. Прих =1, отримаємо, t —V+2 — 3; прих — 2 отрима-

ємо t,— 23+2 = 10. ь

Виразимо підінтегральний вираз через t і dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

10 1     10

\dt 1

-l

1 ( 7

3 -1

3 30

2          2 ,

 х ах

(х3+2)2

ftal 1 Г -2 , 1 t

— — — \t at  

i2 з J

1 1

3

 

1(1 1

 

310 3

 

7 90

 

Відповідь: f

x dx     1

(x4^f=90

ЖІ2

Приклад 7. Обчислити інтеграл: Vcos x sin xdx.

Розв’язання: Нехай cosx — t, тоді - sinxdx — dt, sinxdx — -dt. Визначимо межі інтегрування для змінної t:

t — cos 0= 1; t = cos(7t/2) — 0. Виразимо підінтегральний вираз через t і dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

o

яг/2

U/cosx sinxdx = wty—dt) = —\t dt = \t dt =—

o

т+1

+ 1

 

1          1

.3/2      2 \ = —tL

=                    

 

3/2       3

0          0

1

 

 r tyjt

 

2          2 — (1-0) =—.

лг/2

Відповідь: vcosx sin xdx

Розділ 8. Визначений інтеграл

nil

Приклад 8. Обчислити інтеграл:

■„3

sm xdx

Розв’язання: Спочаткуперетворимо підінтегральний вираз:

sin3x — sin2x-sinx — (1- cos2x)sinx — sinx - cos2x-sinx . Обчислимо інтеграл від різниці функцій, замінивши його різнщею визначених інтегралів від кожної функції:

nil

nil

nil

sin xdx — sin xdx - cos x sin xdx

0          0

Обчислимо кожний інтеграл окремо.

0

nil

nil

sin xdx = — cos x

ТЇ

nil

           

cos       cosO I = -(0-1) = 1;

0

1          1

— (0 — 1) = —

3          3

           

 

cos xsinxdx= It \—dt) = —\t dt

1

ДЄ

Тоді

t = cos x, dt = -sinxtfe.

nil

J

sin xdx -\ — = — 3 3

 

Відповідь:

nil

sin xdx — 1 -

1 2

— = —

3 3