8.4. Безпосередне обчислення визначеного інтеграла.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користу-ються формулою Ньютона-Лейбніца:

f(x)dx - F(X)

b

a

 

F(b) - F(a)

3 цієї формупи видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1)         знайти невизначений інтеграл від даної фуіжції;

2)         в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, a

потім нижню межу інтеграла;

3)         знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл.

Приклад 1: Обчислитиінтеграл:

xdx

-1/2

Розв’язання: Використавши вказане правило, обчислимо даний визначений інгеграл:

\xdx

-1/2

X

4          1

=         

"і 2

V

 

2

 

1          63 63 7

—        — — — 7 —

2          4 8 8

Відповідь: \xdx = 7

-1/2

Приклад2: Обчислити інтеграл:

J" dx 3/ 2

і V^

Розділ 8. Визначений інтеграл

Розв’язання: Використаємо означення степеня з дробовим і від'ємним показ-ником та обчислимо визначений інтеграл:

[ dx ґ _2/з . = х dx =

J 3 / 2 J

1 Vх    1

1/3

1/3

1

 ЗуІХ

 

ЗІл/8 —\1 )

3(2 -1) = 3.

 

Відповідь: j

dx

 

3/ 2

Vx

Приклад 3: Обчислити інтеграл:

я74

J

-Я-/4

VCOS X

 

sinx \dx

Розв’язання: Інтеграл від різниці фуіжцій замінимо різнщею інтегралів від ко-жної функції.

 

яг/4

I

I

sinx ox

cos х

іл C0S X

-ж/4

Я         \ 71 \    Я

= tg      tg| - I + cos      cos

sin xdx = tg x

( яЛ л i л\ V2 V2

2 2

1-TJ^-(-1)+

 

я74      я74

+ cosx 

-Я-/4   -711A

 = 2 .   

 

Відповідь:

Я-/4

-nIA

2

cos x

- sin x нх = 2

Приклад 4: Обчислити інтеграл:

Зх + І

dx

Розв’язання: Використаємо означення степеня з дробовим показником, пра-вило ділення суми на число і обчислимо визначений інтеграл від суми:

Розділ 8. Визначений інтеграл

4

Зх + 1

1/2

ГЗх + l f3x + 1 IV-j 1/2^ -1/2W Л 1/2 , ^ f -l/

=dx =—dx= \(ix          x щх = 3 \x ax + \x

J /        J 1'2     J          J          I

4

. vx      r X       i           *          r

1/2

3/2

3/2

+

2-y/x

 2X

 2vx

2xVx

1/2

1

3/2

£7X

 2І4л/4 -l)+ 2U/4 -11=2(8 -l)+ 2(2 — l) = 14 + 2 = 16

Відповідь: J

3x + l

Vx

dx = 16