Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_da20658c5d2e06d0e4438b62c4daf9ec, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
8.2. Геометричний зміст визначеного інтегралу. : Вища математика : Бібліотека для студентів

8.2. Геометричний зміст визначеного інтегралу.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Якщо інтегрована на відрізку а<х<Ь функціяДх) невід'ємна, то визначений інте-ь грал f(x)dx чисельнодорівнює площі Sкриволінійної трапеції аАВЬ (рис. 1).

a

Уточнимо, що криволінійною трапецісю називають фігуру, обмежену графі-ком неперервної функції у = flx), деДх)>0, прямими х — а, х — Ь та віссю ОХ.

Отже, геометричний зміст визначеного інтегралу- це площа криволінійної тра-пеції.

Розглянемо криволінійну трапецію CHKD (див. рис. 2), в якої абсциса точки С рівнах, аточки/)-х+/іх. Графік функціїу = flx) перетинає вісь ОГвточці^. Тоді площа криволінійної трапеції CHKD рівна різниці площ криволінійних трапецій OAKD і ОАНС.

Розділ 8. Визначений інтеграл

т:         тг

рис.2

Оскільки площа криволінійної трапеції ОАНС залежить від х, то її можна зо-бразити символом S(x). Аналогічно, площа криволінійної трапеції CHKD є функці-єю від х+Дх і її можна позначиги S(x+Ax). Тому площа криволінійної трапеції CHKD дорівнює різниці S(x+Ax) і S(x) та позначається символом Д^х).

Побудуємо два прямокугники CHED і CMKD. Площа першого дорівнює Дх+Дх)-Дх. Оскільки площа криволінійної трапеції CHKD не менша площі прямо-кугника CHED і не більша площі прямокугника CMKD, то можна записати нерів-ність:

Дх)-Ах < AS(x) <Дх+Дх)-Дх.

Поділимо обидві частини цієї нерівності на Ах та знайдемо границі виразів при Дх^О:

lim f(x) < lim

Лх->0  Лх->0

Д5*(х)

Ax

< lim f(x + Ax)

Ax->0

 

AS(x)

Згадаємо, що lim

Ax^O Ax

=5"(x) i враховуючи неперервність функціїДх),

lim f(x + Ax) = lim f(x) = f(x).

Ax-»0  Av-»0

отримаємо:

f{x)<S'(x)<f(x) ,

звідси

5"=Дх) , тобто похідна площі криволінійної трапеції дорівнює функції, яка задає верхню межу трапеції.

Таким чином, площа криволінійної трапеції є однією з первісних функції, яка задає верхню межу трапеції, і може бути визначена за допомогою інтегрування.

Розділ 8. Визначений інтеграл

S(x) = f(x)dx = F(x) + C

Остання рівність вірна для всіх х з проміжку [а; Ь]. Підставимо замість х число а. Отримаємо S(a) — F(a)+C. Але S(a) — 0, бо криволінійна трапеція пфетворюється у відрізок, тому С — -F(a). Таким чином

S(x) — F(x)-F(a) .

При х — Ь одержимо вираз для обчислення площі криволінійної трапеції

S — F(b) - F(a) .

Огриманий вираз для обчислення Sє приростом первісноїДх) на [a; Ь]. Оскіль-ки первісні відрізняються лише на постійну, то очевидно, що всі вони матимуть однаковий приріст на проміжку [a; Ь]. Звідси випливає ще одне означення визначе-ного інтегралу:

визначеним інтегралом називають приріст довільної пфвісної при зміні аргументу від а до Ь.

Дане означення записують у вигляді формули Ньютона-Лейбніца:

/(х)<іх = F(x)

Ь

= F(b) - F(a) a

де Fix) - первісна для функціїДх).



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_da20658c5d2e06d0e4438b62c4daf9ec, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0