Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_ea95c58aee50c3fec2e27234ef27ce9e, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
7.7. Інтегрування раціональних функцій<span lang=EN-US>. : Вища математика : Бібліотека для студентів

7.7. Інтегрування раціональних функцій.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Ціла раціональна функція - це многочлен, який інтегрується безпосередньо:

К

х2 х3 х"+1

а0 + OjX + а2х2 + ... + аихя )й6с = а0х + ах           \- а2     ь ...ап  h С.

' 2 3 п + 1

Інтеграл від дробової раціональної функції           ах, де Р(х), Q(x) - мно-

Q\x) гочлени, можна виразити через елементарш функції шляхом розкладу на доданки,

якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника. Такий раціональний дріб

називають правильним, в інших випадках - неправильним дробом. Неправильний

раціональний дріб завжди можна перетворити в правильний, поділивши чисельник

на знаменник.

Правильний раціональний дріб можна розкласти на доданки наступних двох

видів:

A         Mx + N

(x-a)m (x2+px + q)n де т, п - цілі додатні числа.

Для розкладу правильного раціонального дробу на доданки треба:

Q(x)

1. Розкласти знаменник Q(x) на найпростіші дійсні множники, тобто записати увиді

Q(x) = а0(х-а)т...(х-Ь)к • (х2 + рх + q)n...(x2 +cx + d)r.

Розділ 7. Невизначений інтеграл

2. Записати схему розкладу дробу на елементарні доданки

Р(*)= 4,4, , А, , A і ^2 , ,        ,

0(JC) jc-a O-a) 2 '" (x-a) m jc-fe (x-6)2 '" (*-£)*

| MtX + JVt | M2x + N2 | + Mnx + N„

x + px + q (x + px + q)            (x + px + q)"

CyX + D,        C2x + ZX        Cx + D

+і         — +     2+ ... +

x + cx + d (x +cx + d) (x +cx + d)r

n,eAl,A2,...,Am,Bl,B2,...Bk,Ml,...,Mn,Nl,...,Nn,Cl,...,Cr,...Dl,...Dr -неві-домі постійні. Доданків з відповідними знаменниками є стільки, який степінь кожно-го множника в розкладі Q(x).

3.         Звільнитись від знаменників, домноживши обидві частини на Q(x) .

4.         Скласти систему рівнянь відносно невідомих

A1,A2,...,Am,B1,B2,...Bk,M1,...,Mn,N1,...,Nn,C1,...,Cr,...D1,...Dr,

прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах.

5.         Розв'язати систему рівнянь і підставити знайдені значення

A1,A2,...,Am,B1,B2,...Bk,M1,...,Mn,N1,...,Nn,C1,...,Cr,...D1,...Dr в схему розкладу.

6.         Одержані в розкладі дроби приводяться до інтегралів типу

, r dx (х-аут+1 _         .

L =      =          + С, тф\,

і f dx

12 =     = m\x-a\ + C, m = \,

J x - a

 Mx + N

dx.

1 \x-df  -ТИ + 1

(x px + qf Інтеграл L знаходять no правилам розглянутим в параграфі?

Приклад20: Знайти інтеграл -;        ,           dx.

J х + 4х + 4х

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

Розв’язання: Виконаємо дії згідно приведеної схеми: 1)розкпадемознаменникна найпростіші дійсні множники:

х + 4х + 4х- х(х + 4х + 4) = х(х + 2) ;

2)         запишемо схему розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки

Зх2+8 А В      Я

х(х + 2) 2 х х + 2 (х + 2) 2 '

3)         звільнимось від знаменників, домноживши обидві частини на х(х + 2) :

Зх2 + 8 = А(х + If + Вх(х + 2) + Вхх = (А + В)х2 + (4А + 2В + Bx)x + 4А;

4)         складемосистемурівнянь для визначення невідомих А,В,ВХ, прирівнявши

коефіцієнти при однакових степенях х '■

А + В = 3 4А + 2В + В1=0; L4^ = 8

5)         розв’яжемо одержану систему :

A = 2, В = 3 - A = 1, Вх = -4A - 2В = -10;

6)         запишемо розкпад підінтегральної функції на елементарні доданки та проін-

тегруємо

Зх2 + 8 2 1

 +

х(х + 2)2 х х + 2 (х + 2)2

'хіх + І) 2         J

 

2 1

+

х х + 2 (х + 2)2

dx = 2

\—dx + [         dx -10 [          

J x        i x + 2  J (x +

dx

 

21n \x +ln x + 2 +

x + 2

+ C.

 

x(x + 2)'

Відповідь:

3x2+8 , „,        „ 10

x + 2

ax = 2m\x\ + lnbc + 2 н           h C.

 

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

X + 4х - 2х + 1

dx.

Приклад21:

Знайти інтеграл I

х + х Розв'язання:

1)Розкладемознаменникна найпростіші дійсні множники:

х + х - х(х +1) = х(х + 1)(х - х +1); 2) запишемо схему розкпаду підінтегрального дробу на елементарні доданки:

Cx + D

 +

х3 + 4х2 —2х + \ A В

 +

х(х + ї)(х - х + ї) х х + 1 х -х + 1

3)         звільнимось від знаменників, домноживши обидві частини на

х(х + 1)(х - х +1):

х3 + 4х2 - 2х + 1 = А(х3 +1) + Вх(х2 - х + 1) + (Сх + D)x(x + 1) =

= (A + В + С)х3 + (С + D - В)х2 +(В + D)x + A;

4)         скпадемо системурівнянь для визначення невідомих A,B,C,D, прирівняв-

ши коефіцієнти при однакових степенях х:

А + В + С = \

C+D-B=4

B + D = -2 ;

А = \

5)розв'яжемоодержанусистему: А—1,В — -2, C = 2, D = Q; 6) запишемо розкпад підінтегральної функції на елементарні доданки та проін-тегруємо

2х + 0

йбс

JC + 1

lnljcl -21n|x + ll + 21;

1 c(2x-l)dx 1

2-1 х2 -jc + l +2

йбс

(х—) +-V Т 4

 

2х + 0

 +

X + 4х - 2х + 1 1

х + 1

х + 1

(-:

і

 +

х(х + 1)(х - X + 1) JC х3 + 4х2 - 2х +1

X х + 1 xdx

dx

JC + 1

х(х + \){х - X + 1)

\—dx - 2 \       dx + 2 Г

Інтеграл / запишемо у вигляді

 Хйбс  1 г2(х - 1) + 2

й&

JC + 1

jc + l 2

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

2          1

івикористаємозаміни t = X — X + \,dt = (2х — \)ах, V = X — — ,av = ах. Тоді

г xdx 1 rdt 1 г dt l,       1          2v

\—i      = — — + —   - = —m\t\ + —j=arctg—j= =

1, 2      ,1 1      2x -1 _

Отже

rx3+4x2-2x + l ,          .,          ii i 2      -il 2      2x-l _,

I           4          ax = ln|x| -21n|x + l| + in x -x + 1 +—j=arctgт=—h C

x + x    -\/3      v3

|x|(x2-x + l) 2   2x-l

= In      + —j=arctgj= + C.

(x + 1) 2          уії         J3

rx3+4x2-2x + l ,          |x|(x2-x + l) 2   2x-l „

Відповідь: I     ^          <ir = ln^           —-^ + =arrfg^ С.

x +x     (x + 1) -y/3      >/3



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_ea95c58aee50c3fec2e27234ef27ce9e, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0