7.6. Інтеграли від функцій, шо містять квадратний тричлен.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Ах + В Ах + В

г Ах + В          г Ах + В          г Г

ax +bx + c dx.

            dx;       =dx; U,

Jax +bx + c      JJax 2+bx + c  J

Для відшукання вказаних інтегралів квадратний тричлен перетворюють в квадратний двочлен, виділяючи повний квадрат

1 (( *Y ,0

х + — +         

2а J a 4а

ах + Ьх + с = а(х ч— хл—) = a aa

= <з х +— + £

J U ^    J'

Таке представлення підінтегрального виразудозволяє звести шукані інтеграли до табличних або до інтегралів виду

Роздіп 7. Нееизначений інтеграл

+ c

 

arcsin— + C

Наведемо прикпади.

r dx

Приклад 14: Знайти інтеграл;          .

—E      a                      F J Xі + 4x + 8

Розв’язання: Виділимо з квадратного тричлена повний квадрат

х2 +4х+8 = х2 +2-2-х+4+4 = (х+2)2 +4; тоді інтеграл набуце вигляду

г dx      r dx

(х + 2)2+4

Введемо заміну: x + 2 = t, dx = dt, одержимо

r dx      r dx      r dt       1          t           \           x + 2

\           =          = :        = —arctg— + C = —arctg     + C.

Jx 2+4x + 8 J(x + 2) 2+4 V+2 2 2      2          2          2

Jx2+4x + 8~ hx + 2)2 +

Відповідь: f     ^          = -arctsX + 1 + C

Jx 2+4x + 8 2  2

7-8x

dx

2x -3x + l

Приклад 15: Знайтиінтеграл/= I

Розв’язання: Виділимо з квадратноготричленуповний квадрат

= 2 X2 Х + - :

зУ 1 9

х          +         

4) 2 16,

3f _l} 16

івведемозаміну х       = t dx = dt 1 -%x = \-%t ■ Тоді

4 '

I— r 7-8x        1 r 1 — 8ґ       1 г 1    8 г t

            dx = —            dt=—   dt        

J2x 2-3x + l     2і л 1   2>л 1   2>л 1

16

dt = /j + /2.

 

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

Періпий з отриманих інтегралів, /, табличний

JA

2V

dt

1 1

2 2-1

In

f +

+ С,

а другий, /2 , знаходимо заміною t1           = v, 2tdt = dv, tdt = —dv

16        2

8 tdt

1 fifv

2V

f?^= 4•- f— = 21n|v| + C = 21n

J          1          2 J v

Повернемось до змінної x i запишемо резупьтат x-1

/ = ln

21nx -l,5x+0,5 +C.

x-0,5

1 16

+

 

Відповідь: I = In

x-l

x-0,5

21nx -l,5x+0,5 +C.

 

dx

-2 + J(x-2) -7

Приклад 16: Знайти інтеграл / =.

x -4x-3 Розв’язання: Виділимо повний квадрат з квадратного тричлена

х2-4х-3 = (х-2)2 -1,

івведемозаміну x-2 = t, dx = dt; одержимо

dx        dx        dt

\

I

I

In

V(

х-2 + д/(х-2)2-7 (3x-5)t/x

Відповідь: 7 = J"

Vx2-4x-3 ^/(x-2)2-7 л/^^ A:

ln

+ С.

Vx2-4x-3 Приклад 17: Знайти інтеграл 7 = [

W9 + 6х - Зх2 Розв’язання: Виділимо з квадратного тричлена повний квадрат

9 + 6х-Зх2 =-3(х2-2х-3) = -3((х-1)2-4) = 3((4-(х-1)2), і введемо заміну z = х -1, dz = dx .Тоді

+ C.

 

Розділ 7. Невизначений інтеграл

JV9+6x-3x 2 S}4A^7 S}4A^7 S}4A^7        7З •

ш и й

, л, /г, знаходимо ввівіпи заміну

i

4 - z = ?, - 2zdz = dt, zdz = — dt

J^T7 2^ 2

Другий інтеграл єтабличним

dz        . z

arcsm—+ C.

V^T7 2

Підставимо знайдені інтеграли та вернемось до змінної х; одержимо

2          г          /-—- гт           -

/ = -J3(4-z 2 ) —;=arcsin— + С = С - V9 + 6х - Зх2 —^arcsin

л/3       2          73

Відповідь: 7 = С - л/9 + 6х - Зх2—^arcsin^.

V3       2

Приклад 18: Знайтиінтеграл: 7 = U/x2 + 2х + бах. Розв’язання: Виділяємо повний квадрат в підкореневому виразі

х2 +2х + 6 = (х + і) +5;

тепер використовуючи уже відомі формули інтегрування, та поклавши t = х +1, х = dt, b = 5 обчислюємо:

jVx2 + 2х + 6dx = U(x + if + 5dx = [yfFTldt = -\Jt2 +5 + -ln(t + yjt2 +5) + C =

(x + 1)^(x + l)2+5+-ln(x + l + A/(x + l)2+5) + C.

2 *4     2

Відповідь: / = * '^(x + lf +5+-ln x + l + y(x + l)2 + 5І + С.

Приклад 19: Знайтиінтеграл: I = U/3 + 4x - x2 dx. Розв’язування: Виділяємо повний квадрат в підкореневомувиразі

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

3 + 4x-x2 =7-(x-2)2; тепер використовуючи уже відомі формули інтегрування, та поклавши t = (х - 2), dt = dx, a2 =7 обчислюємо

Г-ч/з + 4x-x 2 dx = Ul -12 dt = -Ф -12 + -arcsin= + C =

VT"

i           7         x —2

yjl-(x-1) 2 + -arcsin=r + C.

2 ^       2          Vv

Відповідь: fV3 + 4x-x 2tfe = ^^ф-(х-2) 2 + -arcsin^^ + C.

2          2          y7