7.5. Інтегрування частинами.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Виведемо формупу інтегрування частинами. Відомо, що:

(wv) -u'v+uv',

або      t/(Mv)=vt/M+Mt/v.

Інтегруючи ліву та праву частини, отримаємо

d(uv)= vdu+ udv

або

\udv = uv- \vdu

Як бачимо, знаходження Yudv зводиться до знаходження \vdu, який повинен

виявитись більш простим або табличним інтегралом.

При використанні методу інтегрування частинами підінтегральну функцію представляють у вигляді добутку двох множників и та dv, і знаходять du та v. Якщо

одержаний інтеграл Yvdu виявився складним, то можна спробувати поміняти

значення и та dv. Для зручності вирази и, dv, du, v оформлюють у вигляді таблиці. Метод інтегрування частинами часто застосовують при інтегруванні функцій, що містять добуток, логарифми і обернені тригонометричні функції.

Приклад 11. Знайти інтеграл: х ■ exdx.

Розв'язання:

\x-exdx = х-ех - \exdx = х-ех-ех+ С.

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

 

u=x      du=dx

dv=exdx          v=\exdx=ex

Приклад 12. Знайти інтеграл: U ■ coslxdx. Розв’язання:

Ґ          ^.r x . - If... x . „ 1 „ _,

\x ■ coszxax -—smzx— smzxox = —smzxn—coszx + C

J          2          2 J       2          4

 

u=x      du=dx

dv=cos2x dx    v= jcos2x dx = 0,5 sin2x

Приклад 13. Знайти інтеграл: x In xdx. Розв’язання:

1 x3     x3

J

xz -Inxox = — Inx- — • — <ix = — Inx- x dx - — Inx- + C

3

3

x 3

 

u=hx    dw=l/x dx

dv=x2dx          v=jx2dx=x3/3