7.4.Інтегрування методом підстановки (заміна змінної).


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Якщо інтеграл неможливо привести до табличного з допомогою елементарних перетворень, то одним з способів інтегрування є метод підстановки (заміни змінної).

Суть методу підстановки полягає в наступному: заміняють новою змінною таку частину підінтегральної функції, при диференціюванні якої отримуємо ту час-тину що залишилась (не враховуючи постійного множника, на який завжди можна домножити чи доділити відповідний вираз). В результаті введення заміни підінтегра-льний вираз повинен набути вигляду:

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

fit (x)) -t {x)dx=f (t)dt, що дозволяє звести інтеграл до табличного.

dx

7.

Приклад 7. Знайти інтеграл:

1/(5 — Зх)

Розв’язання: Зробимо підстановку t — 5 - Зх, тоді tft =-Зох, звідки Й& =        

dt

dx        Г з

 = I      — =    

т/(5-Зх)           ;/з        ^

тт '       f           ^Х       f           3          if ,-//3 ,,

           

і ?1/3

т + С = —t +С = —t +С = -(5 - Зх) + С 3 1/

/3

Відповідь: | )   = = ~л/5 - Зх + С.

лД5-Зх)

Приклад 8. Знайти інтеграл: J(2+cosx)2 sinxtfe.

Розв’язання: Нехай 2 + со&х — t, тоді: - sinxdx — dt, звідки sinxdx — -dt.

Отримаємо:

(2 + cosx) sinxdx = -\t dt = -t /3 + С =—(2 + cosx) +C.

J          J          3

Відповідь: f(2 + cosx)2 sinxdx = —{l + cosx)3 + C.

J          3

exdx

1 3

J

Приклад 9. Знайти інтеграл:

2 + Зел

1 3

Розв’язання: Нехай t — 2 + Зе*, тоді 3ecdx=dt, e x dx — —dt. Даліотримаємо:

extfe 1 fA llM   1

            = — — = —mm + C= —

2 + Зех 3 J t 3 3

2 + 3ex 3

Відповідь: j

ЄХ(ІХ 1,         x ,_,

m2 + 3e +C

 

Розділ 7. Невизначений інтеграл

— dx.

X         1 ,        ,

Розв’язання: Нехай — — f , тоді — ax — at звідки 2dt = dx. Отримаємо:

2          2

Г х і ^,Г           • г, ■ х ^

cos—ax = 2 \costdt = 2smt + C =2sm—ьС.

J 2       J          2

Ь

х          . x

— dx = 2sm—hC.