7.3.Безпосереднє інтегрування.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб знаходження інтег-ралу, коли пшяхом тотожних перетворень підінтегральної функції та застосування властивостей невизначеного інтегралу приходимо до одного чи декількох табличних інгефалів.

C3dx Приклад 1. Знайти інтеграл I2 .

J х

Розв’язання: Використовуємо властивості степеня з від’ємним показником

1 (а-"= ~^ ; а>0) і знайдемо невизначений інтеграл від степеневої функції:

a

-2 dx =            + C = -3xA+C = — + С.

-2 + 1  х

3dx —3

X         х

{3dx Г Відповідь: N2 = —+ C

J X       x

 dx

Приклад 2. Знайти інтеграл I г~ .

                        J 2x-Jx

Розв’язання: Використаємо властивість степеня з дробовим показником

а" =л]ат ізнайдемоневизначенийінтегралвідстепеневоїфункції:

 dx 1f _3/2       1 х 2    ^          1

            j= = —\x dx = h С =—j= + C.

^ 2хл/х 2J        2 -23 + 1         yjx

f dx      1

Відповідь: —г=~Г + С.

—         — J2x^x ліх

Приклад 3: Знайтиінтеграл: \8x 5 X3 dx .

Розв’язання: Використаємо властивість степеня з дробовим показником і пра-

т

вило множення степеня з однаковими основами (ап ■ ат = ап+т; a п = Щат ). Знайдемо невизначений інтеграл від степеневої функції:

Розділ 7. Нееизначений інтеграл

\8x547dx = 8 fx • x3'5dx = 8 fx8/5dx = 8^ + C = — x25J7+ C

J          J          J          13        13

Відповідь: \8xyjx3dx =—х2л]х3+C. J

5x - xv x

Приклад 4. Знайти інтеграл: I         j=         CtX .

J \}x

Розв’язання: Використаємо властивості степеня з дробовим показником, пра-вила дій над степенями з однаковими основами і знайдемо інтеграл від кожного доданку окремо:

5x-xfi

3Jx~

Г 5х-хд/х         f

            ==       dx =

J          IT        J

5x Xі

1/3       1/3

dx

5 x dx- x7 dx = 3x^x   x y/x+C

J          J          13

f 5x-x-Jx , зПГ 6 2(Г

Відповідь        /=dx=ix\x         x v* + C.

—        ^-: J ^/х           13

Приклад 5. Знайти інтеграл: 1

2

СЙС-

Розв’язання: Відкриємо дужкиза формупою (а- b)2 = a2 - 2ab + b2іневизна-чений інтеграл від отриманої алгебраїчної суми функцій замінимо такою ж алгеб-раїчною сумою невизначених інтегралів від кожної функції:

1— dx= 1— + —Ux = XH     + С

х х J     х Зх

п, 1 і    2 1 ^,

Відповідь: 1—^ dx=x +         т + С.

\ х )      х Зх

Приклад 6. Знайти інтеграл: ctg xdx .

Розділ 7. Невизначений інтеграл

Розв’язання: Для знаходження інтегралу використаємо формулу

ctg X

sin X

-1 і властивості невизначеного інтегралу:

Відповідь: ctg xdx = —ctgx + x + C.

1 \dx = -ctgx + x + C.

B практиці інтегрування часто зустрічаються інтеграли, для знаходження яких можна використовувати формули, які випливають з властивості 5:

3. sm(Kx + D) =          COS(KX + b) + С; 4. COS(KX + b)dx = —sm(Kx + b) + C;

J          A:        J          k

tg{kx + b) + C;

ctg(Ax + b) + C;

.

 +

.ekx+bdx=^ekx+b +С; к

             =        

cos (kx + b) k

dx        1

 

k2 +b2x2

arctg —x + C;

fo£       A:

 

2. а dx =          ьС;

к In a

+ dx

A:

sin (kx + b) k

dx        1

 

2-b2x2 b

■yk

arcsin —x + C. k

Г          X A

Так, при знаходженні ICOS—flDC можна використовувати формулу J 2

kxdx = —smkx + C, дек к

тоді

cos—dx = 2sin— + С

2          2