Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_f249bd5f270fe603f49c04e07cb732e1, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
6.3. Застосування диференціалу до наближених обчислень. : Вища математика : Бібліотека для студентів

6.3. Застосування диференціалу до наближених обчислень.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Приріст функції і диференціал функції відрізняються один від одного на малу величину а-Ах. Якщо знехтувати цією малою величиною, то отримаємо наближену рівність

Ay=idy, тобто при малих приростах аргументу Лх приріст функції можна замінити її диференціалом.

Враховуючи, що Ay =Дх+Лх) —fix) , отримаємоДх+Лх) - fix)&dy, звідки

fix+Ax)^x)+dy. Ці наближені рівності застосовуються для наближених обчислень, бо обчис-лення диференціалу функції значно простіше, ніж обчислення її приросту.

Приклад 4. Обчислити наближене значення приросту функції}>=х2+2х+5 при зміні арг’ментувідх=2 дох=2,001.

Розвязання: Знаходимо диференціал аргументу dx =Дх =2,001 - 2=0,001. Приріст аргумешу малий, тому приріст функції Ау наближено дорівнює його диференціалу dy.

Диференціал функції обчислюємо за формулою: dy=y'{x)dx. Спочатку знайде-мо похідну функції і її значення при х = 2.

у' = 2х+2,

Розділ 6. Диференціал функції

y'(2) = 2-2+2 = 6. Тоді

dy — 6-0,001 = 0,006; Ay» 0,006. Точне значення приросту функції знайдемо за формулою:

Ау =/(2,001) -7(2), де

Д2) = 22 + 2-2 + 5 = 13, 7(2,001) = (2,001)2 + 2-2,001 + 5 = 13,006001. Тоді

Ау = 13,006001 - 13 = 0,006001. Порівнюючи отриманий результат з диференціалом dy, бачимо, що абсолютна похибка дорівнює 0,000 001. Проте абсолютна похибка не дає достатньо повної хара-ктеристики точності підрахунку, тому обчислимо і відносну похибку:

0,000001

со =     < 0,02% .

0,006001

Такаточність майже завжди достатня для прикладних розрахунків, томузамість приросту функції знаходять її диференціал. Відповідь: Ау» 0,006.

Приклад 5. Обчислити наближене значення функціїу — х3 + х2 - 2х прих = 2,01.

Розв’язання: Знайдемо диференціал артумешусіх—Ах—2,01-2—0,01. Приріст аргументу малий, тому для обчислення наближеного значення функції використаємо формулу

Дх+Ах) ~Дх) + dy, або Д2,01) »Д2) + dy.

Спочаткузнайдемо значення функції прих — 2: fi2) — 23 + 22 - 2-2 — 8.

Диференціал знаходимо за формулою: dy—у {x)dx, для цього знайдемо похідну функції і її значення при х — 2:

у' = Зх2 + 2х- 2, у'(2) = 3-22- 2 = 12 + 4 - 2 = 14;

Тоді     dy—14-0,01 = 0,14;

Звідси:            /(2,01)» 8 + 0,14 = 8,014.

Відповідь: /(2,01)» 8,014.

Приклад 6: Знайти наближене значення J\ 6,06 •

Розв’язання: Нам потрібно знайти наближене значення функції у = -Jx при

х=16,06.

Знайдемо диференціал аргументу: dx — Ax — l6,06 - 16 = 0,06. Приріст аргументу малий, тому

діб,0б)»7(іб) +й^, т(іб) = *Ji(, = 4 .

I \ 4      Розділ 6. Диференціал функції

Диференціалзнаходимозаформулою: <fy—y{x)dx, ддяцьогоспочаткузнайде-мо похідау функції і її значення при х — 16.

/ (х) = (ух) -—1=; j (16) === = — = 0,0125 .

2Vх     2V16 8

Тоді     dy — 0,125-0,06 — 0,0075.

Звідси,            д/16,06 «4 + 0,0075 = 4,0075.

Точне значення         Jl6,06 = 4,0074929.

Відповідь: Jl6,06 = 4,0075.

Приклад 7. Знайти наближене значення з/о,988 •

Розв’язання: Як і в попфедньому прикпаді, маємоДО,988) «Д1) + dy,

у = Ух', dx = Дх = 0,988 - 1= -0,012;

, , 1/3у 1 -2/3  1          ,m 1

у = (х ) =— х =,= ,      у{\) = — ,

3          ЗУх2   3

dy = — (-0.012) = -0,004;     /(l) = vl=l.

Тоді:    л/0,988 «1 - 0,004 = 0,996.

Відповідь: з/р.988 » 0,996 •

Приклад 8. Об'єм куба, реброякого дорівнює 4 см, при нагріванні збільшуєть-ся на 0,96 см3. Як при цьому збільшується ребро куба?

Розв’язання: Об'єм куба з ребромх обчислюється за формулою: V =x3. Оскіль-

ки AV& dV, TO dV=i 0,96.

Диференціал функції обчислюється за формулою dV=V'(x)dx, звідси

dV уі( \' Перш ніж скористатися цією формулою знайдемо похідну функції Vi

їїзначення прих — 4: V — Зх2, V(4) — 3-42 = 48.

Тепер знаходимо dx « 0,96/48 — 0,02, Ax « 0,02. Відповідь: Ребро куба збільшилось приблизно на 0,02 см.

Розділ 6. Диференціал функції



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_f249bd5f270fe603f49c04e07cb732e1, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0