6.2. Геометричний зміст диференшалу.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Розглянемо графік неперервної функції у —fix) (рис. 1). Похідна функції при х=х0 рівна тангенсу кута нахилу дотичної до графіку функції в точці з абсцисою х„, тобто:

,,          1-        АУ

у (х0) = tg« = hm — .

Ill

 

Зрис. 1 видно, що дотичнарозбиваєприрістфункції^ЗУнадвавідрізки: КР, який відповідає доданкуУ -Лх та PN, який рівний доданку а-Ах. Якщо приріст аргу-менту прямує до нуля, то відрізок NP зменшується значно швидше, ніж відрізок РК. Отже, приріст ординати дотичної КР є головною частиною приросту функції у =f(x). 3 трикутника А/Р/Гзнаходимо:

PK=MK-tgq>.

Тому, щоАСУ=Лх; tga —у', отримаємо PK—y'-Ax—dy.

Отже, диференціал функції у —f(x) геометрично зображається приростом ор-динати дотичної, проведеної в точці М(х„, у„) при заданих значеннях х„ і Лх.

Приклад 1. Знайти диференціал функціїу=(2х3-4)5. Розв’язання: Знаходимо похіднуданої функції:

/=5(2х3^)4(2х3^)'=5(2х3^І-)46х2=30х2(2х3^І-)4 Помножимо похідну на диференціал аргументу отримаємо диференціал функції:

dy=J> 0x2(2x3^4)4ax. Відповідь: <іу=30х2(2х3-4)4ах.

Приклад 2. Знайти диференціал функції S

 

In t

Розв’язання: Спочатку знайдемо похіднуданої функції

5"

(In t)' 21n?(ln?)'

In t

(In t)

 

t ~2

In t t\n t

Помножимо похідну на диференціал аргументу отримаємо диференціал функції:

Розділ 6. Диференціал функції

r ~ 2dt , aS =—T-ax. tin t

- 2dt

Відповідь: dS =          T ■ dx.

tin t

Приклад 3. Обчисдити значення диференціалу функції v=cos3 Зф приф=л/18, Дф=0,01.

Розвязання: Диференціал функції обчислимо згідно формули dv=v(ф)<іф. Перш ніж застосувати цю формулу, знайдемо похідну функції і її значення при

Ф = я/18:

v' = 3cos 3^(cos3^)' = 3cos 3^(-sin3^)(3^)' =

-3cos 3^sin3<^-3 = -9cos 3^sin3^;

2 Я" Л J V 3

-9cos —sin— = -9

-2

6 6 o^ = 0,01

V —

1          „31 27 „

— = -9            =          = -3,375;

2          4 2 8

Звідси, dv = -3,375-0,01= -0,03375. Відповідь: dv — -0,03375.