5.13.Вправи.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

1.         Дайте означення похідної функції.

2.         В чому полягає геометричний зміст похідної?

3.         В чому полягає фізичний зміст похідної?

4.         Дайте означення другої похідної функції.

5.         В чому полягає фізичний зміст другої похідної?

6.         Напишіть правила диференціювання.

7.         Виведіть формулузнаходження похідної добуткутрьох функцій.

8.         Сформулюйте умови зростання і спадання функції.

 

9.         Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.

10.       Сформулюйте достатні умови існування екстремуму функції.

11.       Як знайти точку екстремуму функції?

12.       Як знайти найменше і найбільше значення функції на відрізку?

13.       Сформулюйте достатню умову опуклості кривої.

14.       Як знайти напрямки опуклості і точки перегину кривої?

15.       Знайти похідні функції: а)у— (2-х2)4; б)у — lnsin2x; в)Дх) — cos3-(cos3x).

16.       Знайдіть другу похідну функції: а) S = -Jt ; б) у = lnsinx; в)у = cos2x.

17.       Складіть рівняння дотичної до кривоїу — tg2x в початку координат.

18.       При якому значенні змінної х дотичні до кривиху — х2 і у — х3 паралельні.

t +3t -5 (S -в метрах, t -в

19. Тіло рухається прямолінійно по закону S

секундах). Знайдіть швидкість руху в той момент часу коли прискорення дорівнює нулю.

20. Знайдіть екстремуми функціїу — 2х3 - 6х2 - 18х + 7.

100 Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослїдження функції

21.       Знайдіть найбільше і найменше значення функції^ = х3-3х2-9х+35 на відрізку- 4< х < 4.

22.       Кусок дроту довжиною 84 см потрібно зігнуги у вигляді прямокугника так, щоб площа цього прямокутника була найбільшою.

23.       Число 16 розкладіть на два таких додатніх множника, щоб сума їх квадратів була найменшою.

24.       Визначигь напрямки опуклості і точки перегину кривої^ — Зх5-5х4+4.

25.       Знайти похідні функцій:

9. у = 2х -cosx.

х

Є

10. у

ех +1

\.у = X3 + X5. 2.у = 2x* + х1'3.

+

3.

у = 4л/х

х

X

11. У —;        

х +1

1-COSJC

4.у = 3siwc + 2х + Іе*.

4 х ,

5.         у = — н          hmx.

12. J

х 4

1 + COSX

6.         y = 2sinx.

l. y = е*(1 + X2).

8. у = 2\%х • arcsin х.

Знайдіть похідну функції та обчисліть значення в заданій точці.

26.       у = -yjx + х3 -Зх,

27.       _у = sin х ■ tgx,

х = — 4

х = 1. х = 1. х = 4. х = 0.

х = 4.

28. у

х2-1

х2 +2'

29.       j/ = 1пх-5х +3Х,

_ V* -1

30.       У =7= '

л/х +1

31.       у = ех +sinx,

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції \ о 1

2 3 4

32.       У = — + —    4'

XXX

33.       у = (х2-3х)(х + х3)

34.       fix) - In COS X,

35.       f[x) = sinx - COS2X, Зб.Дх) = esira,

37. fix) - lnctgx,

x = 2.

x = 2.

n x = —

x = 0 x = 0

x =

Л"

 

38. /(x) = ecos2x ,       X - — 4

39. fix) = In sin Ax,      x = — 16

40. Дх) = cos2x2 ,      X =     

2

41.Дх) = esm2x - 3cos2x,       x = 0 •

42.Дх) = tg23x,           x = 0 •

43. f(z)

Vz2+1

z

z =

л/3

 

4x+3

44. J (x) = 3-ye

45. /(x) = in     

x 2 + l

Vx2-1

46. /(x)

X

x = 0.

x = 2.

x = V5 •

102 Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослїдження функції

9x

           

47. f(x)

^71

л/х2+1

Vx-1

48. f(x) = In.

Г3х-е3х

49. /(*)

x2 +4 x2-l

50. fix) = In

51. f(x) = 3^e2x +1 Vx

52. f(x)

x2-l

53. /(X) = ІП :

x2 +4

A 2 л

ех +е~х

V x -4

 

54. f(x)

X         -X

е - е

55. /(x) = -Jx(kjx - x),

56. /(*)

lnx 1 + lnx

57.       /(x) — In Vx +1 ■

58.       /(x) = XCOSA X

x = 2v 2.

x — 2 •

x = 0.

x — 2 • x = 0.

x = 4 •

x = 2 •

x = l.

x = l.

jc = e.

x = l. x = l.

Знайдіть другу похідну i обчисліть її значення в даній точці.

2 4

х = 1.

59. .У

v-         2 '

X X

Розділ 5. Похідна. Застосування похідноїдо дослідження функції 103

5 6

60. У = — j,    х - 2

X         X

61.У = ЗХ       j",         x = l.

X

6x -lx

62.       y =       ~          '           x-2.

2x

1          3

63.       y = x4 -8x4,     JC = 1 •

7          5

64.       j; = 4x 2 - 9x 2,           x = 9 •

65.       y = -6л[х + — ,           JC = 1.

x

66.       j; = 6V^ + ЗхуІХ - \X,            X - 1 •

67.       j; =

+ 6x2l[x+2,      x = \-

68. у = 2І[х+9х2Ух2 +—-      x = i_

23/_2

X

69. j = (3x - 2)(7x + 4),           x = 2

x = —

70.       j; = (2x - 5)(-3x + 4x + 4),

jv = (4x -5x)(x +5),     x = l72. y = (9 - 2x)(2x - 9x ),

x = —

2

.z         /—

73.       j = (—h 3x)(Vx -1)      x = l-

x

 2 1      1

74.       J = 3x  2 + — ,           x = l.

X         X

75.       У

76.       У

77.       у

78.       У 79.У

х-1

5х-2 ,

2х + 3 3х + 7

5х х-3

1 + л/х

           

1-ліх, х-1

80. J = 3х -3х +

х +1

81. J

82. у

х-3 ,

83. J

х-1

7х-4 ,

 

1

X

х = 2. х = 1. х = 1.

х = 4.

х = 9.

х = 9 .

х = 2.

х = 1. х = 1.

Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку:

хє[0;6].

хє[-1;6]. хє[-4;4]. хє[0;3]. хє[-1;4]. хє[0;4]. хє[-2;2].

84.       у = х -6х + 13,

1          2 1 3

85.       У=—х --х ,

2          3

86 у = 6х2 -X3,

87.у = х -3х -9х + 35,

88.       у = -х —9х -24х + 10,

89.       у = 2х -3х ,

90.       у = 2х - 6х -18х,

91.       у = х -18х -5,

Дослідити функцію з допомогою похідної та побудувати її графік:

1 з

92.       У =—х — х.

93.       у = х -6х - 9 •

94.       у = х - 5х - 4.

95.       у = 2х3 -Зх2.

96.       у = х3 -Зх2 + 2.

97.       у = х - Зх.

98.       у = х -Зх -Зх + 2.

99.       у = х -2х -х.

1 3 1 2 ,

100.     У = —х н—х +1.

3          2

101.     у = х4 -4х + 4.

102.     у = х3 -5х2 -8.

1 з 5 2 с

103.     7 = -^ +—х +6х.

3          2

104.     Точка рухається прямолінійно за законом S = sin Ґ. Знайдіть момент часу t, коли прискорення точки дорівнює 1.

105.     Знайдіть швидкість і прискорення точки, яка рухається прямолінійно за

законом S = sin2t вмоментчасу (5*-вметрах, ?-усекундах).

106.     Точка рухається прямолінійно за законом S = —t3 + 2t2 - 3 (м). Знайдіть

швидкість таприскоренняточки в моментчасу t—3c.

107.     Точка рухається прямолінійно за законом S = — t3 + 2t2 - 45. Обчислити її

швидкість та прискорення в момент часу t — 5 c.

108.     Дві точки рухаються прямолінійно по законах S, =—t3+t2+t + \4 та

106 Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції

S2 = —t          1 +1ІІ-8.Вякий моментчасуїхшвидкостібудутьрівні?

3 2

109.     Точка рухається прямолінійно за законом S = sin2 t. Знайти момент часу коли її прискорення рівне нулю.

110.     Температура тіла Гзмінюється з часом t за законом Т— 0,2 f. Яка швидкість нагріву тіла в момент часу t—lOc.

111.     Сила струму / змінюється в залежності від часу t no закону /=0,4?2 (S - в амперах, t - в секундах). Знайти швидкість зміни сили струму в кінці восьмої секунди.

112.     Точка рухається прямолінійно по закону S = 2t3 +12 - 4 ■ Знайти момент часу коли прискорення рівне 1.

113.     Точка рухається прямолінійно по закону S = 2t3 +12 + 4 ■ Знайти приско-рення точки в момент часу t — Зс.

114.     Точка рухається прямолінійно по закону S = 2t3 -4t2 +5t ■ Знайти швид-кість і прискорення точки в момент часу t — 2 c.

115.Двіточкирухаютьсяпозаконах Sl = 2t3 -4t2 +5t та S2 = 2t -1,5? .Знай-ти момент часу коли їх швидкості рівні.

116.     Точка рухається прямолінійно з швидкістю яка змінюється по закону

V = 6t -2t + ll. Знайти момент часу коли прискорення точки рівне 2.

117.     Сила струму /змінюється в залежності від часу ?по закону/=0,4?2 (t -в секундах, /- в амперах). Знайти швидкість зміни сили струму в момент часу t— 8с.

118.     Знайти швидкість та прискорення точки в момент часу ґ=3с, якщо вона

рухаєтьсяпрямолінійнопозакону S = t3 +5t2 +4 ■

119.     Тіло рухається по закону S — S(f). Що можна сказати про рух тіла, якщо S{f) = 1?

120.     Тіло рухається по закону S — S(f). Що можна сказати про рух тіла, якщо S'{t) < 0?

121.     Тіло рухається прямолінійно по закону S(t) = at +bt + с . При яких зна-ченнях а, Ь, с рух тіла буде рівномірним?

122.     Тіло рухається прямолінійно по закону S(t) = at2 +bt + с . Прияких зна-

ченнях а, Ь, с рух тіла буде рівноприскореним?

123.     Знайти закон зміни прискорення руху тіла при гармонічному коливанні

S(t) = A sin(wt + <р).

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослїдження функції 107

at2 ,

124.     Тілорухається прямолшшноno закону bit) = а(Л ч <ап, я-постіині).

0 2 ° При яких співвідношеннях між а., і а тіло зупиниться?

126. Точка рухається прямолшшно no закону Sit) =          it + 4 . B якии

4 2

125.     Тіло рухається прямолінійно по закону S(t) = 3t2 + It + 3 . В який момент часутіло зупиниться?

126.     Точка рухає: момент часу прискорення рівне нулю?

127.     Записати рівняння дотичної і нормалі до параболи у = 2х + 1 в точках з абсцисами х1 =—1,Х2 -0,Х3 =1.

128.     Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до параболи у = х :

а) в початку координат;

б)вточці(3; 9);

в)         в точці (-2; 4);

г)         в точці перетину її з прямою у - Зх - 2.

129.     В якій точці кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи у — X дорівнюєЗ?

130.     В якій точці дотична до кубічної параболи:

а)         паралельна осі;

б)         утворює з віссю кут ?

131.     Під якими кутами перетинаються парабола і пряма ?

132.     В якихточках дотична до параболи:

а)         паралельна прямій

б)         перпендикулярна до прямої

в)         утворює з прямою кут ?

133.     Попрямійлініїрухаютьсядвіточки, законирухуяких: S(t) = t4 + 2t2 + 5t +1,

S(t) = 12? відповідно в які моменти часу точки мають однакові прискорення.

134.     Знайти границі, застосовуючи

правило Лопіталя:

 X - sin X

1. lim    •          3. lim

X

           

 +

x3 - 4x2 + 4x

x + sin x           x^co ln(l + x)

z- lim—                       tg5x

x~>2 x - \2x -16 .        4. lim

х-2

>_ tg3x'

            2         

Ю8 Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїdo дослідження функції

 In sin X

5. lim   

x^+0 In sin 5x

15. limx2e .

x->0

 

cos3x

16. lim

X—И

6. lim

x^1 COSX

 ex+ex-2

7. lim   

x^° l-cos2x

8. lim 9 lim

УІХ2 -1

arctg2x 0 arcsin 5x

10. lim yjx lnx.

x-»+0

 

7l

y

x5 - 1 x1 - 1

 o

ctg^

17. lim

?v

r           Ї

c?g

3          x

sin —

3)

18. lim

x->0

19.

lim ctg x ■ In I x + ex ).

 

11. \ivs\{tg(p

W

cos 97

20. limsin(2jc-l)-tg^jc

21. lim (l + ex )x ■

 

12. lim

x-»l

 

In x x-\

22. lim

m cos —

V xj

 

13.

lim

'vsinr t)

23. lim (x — l)in

x->l+0 V         '

2(x-l) .

 

14. limcosxtg5x

24. lim (2 — x)in*.

 

x

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослідження функції 109

 

Похідна

Фізичний зміст: у'- швидкість змши функції при заданому значенні аргументу.

у" - прискорення;

S— шлях; S'-V- швидкість

Геометричний зміст: тангенс кута

нахилу дотичної до графіка функції

в заданій точці.

y'(0=tga

у = lim —

Дх^о Ax

"2 л1

&У=У2-УгУ(хгУ(х^

Уг

/ = (/)'

=у(х +hx)-y(x) - приріст        уі

функції

Таблиця похідних.

6.(ех)' = ех      U.(ctgx)' = —

1.С' = 0 2. х' = 1

7.(lnx)' =

12. (arcsin х)' -

Застосування похідної до дослідження функції.

І. ї

^х1 1

3.(vx)' =—т= 8. (sin х)' = cos х 13. (arccos х)' = - .  

2Vx     ,/l-x2

4. (х")' = ихиЧ 9.(cosx)' = -sinx 14. (arctgx)' = -

Х+х'-

5.(ax)' = axlna W.(tgx)' = -

у -не існує

тіп

1^-0 тіп

Правила диференціювання

и \ UV-UV

\.(u±v)' = и' ± V

3.

2. (ш)' = u'v + uv'        А.(Си)' = Си'

Складена функція      у = f(u(x)) => у' = f'(u) ■ и'(х)

Приклад : у = In cos 4 х

•(-SU1 V*/ 'I   != I

a)y'--

24 x )

iyjX

u\' J1 ,.' „x Ґ*Л\' „x

b)(ex y = (eu)' = eu -u' = ex (jT)' = ex -2x

y'<0^f(x)i

У=0 *~| критична

у'-яе У точка

icHyeJ 

Схема дослідження функції.

1.         Знайти Z>(y).

2.         Знайти критичні точки I роду

а) знайти у'; в) розв'язати рівняння У=0, або у'- не існує.

3.         Встановити інтервали монотонності і точки екстремуму функції.

4.         Знайти значення функції в екстремальних точках.

5.         Знайтидопоміжніточки.

6.         Побудувати графік.