5.12. Правило Лопіталя.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Y A

5,4

3,2

При дослідженні функції може виникнуги потреба обчислити її границю в деякій точці х = а або при % —> GO . В розділі були розглянугі елементарні способи знаходження границі функції, які, проте, не завжди приводять до бажаного резуль-тату. Одним з більш ефективних засобів для знаходження границі функції є правило Лопіталя, яке приводимо без доведення.

                       

            або      —

Lu_                  co

ПравилоЛопіталя:

Якщо функції f(x) І gix) визначені і неперервні в деякому околі точки X = a і

•          lim fix) = lim gix) = 0 або lim fix) = lim gix) = oo;

x—>a  x—>a  x—>a  x—>a

•          існують похідні функцій fix) i g'ix) воколі- точки x = a',

 fix) існує скінчена границя lim— = A ;

\x)

TO

fix)

lim x^a gix)

x^a g'ix)

Правило дійсне i y випадку a = co.

96        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослідження функції

У тих випадках, коли при обчисленні границь отримуються невизначеності типу

0 со

(J • GO, GO — GO їх зводять до випадків —, — пшяхом перетворення функції в дріб;

0 со випадки 1°°, оо ,0 зводяться до випадку 0 • оо •

Правило Лопіталя можна застосовувати і до функцій f'(x), g'{x), якщо

вони задовольняють вищевказані умови, тобто повторювати знову і знову, якщо це потрібно для одержання результату:

х^а g(x) х^а g'(x) х^а g"(x)

х4 -16

Приклад: Обчислити границю Hm

х^2 х3 + 5х2 - 6х -16

Розв’язання: Як бачимо,

JC4 -16           Й(х4_16)

Ііт

^2 х3 + 5х2 - 6х - 16 Ііт (х3 + 5х2 - 6х - 16) 0

х->2

Застосуємо правило Лопіталя:

х4-16   (х4-16У          4х3      32 16

hm—   = lim—z           = lim—            — —.

"2Х3+5х2-бх-16 ^Цх' +5x 2 -бх-Щ' "2 3х2+і0х-6 26 13

x4 -16  16

Відповідь: lim

х^2 х3 +5х2 — 6JC — 16 13

,. е2х -1

Приклад: Обчислити границю nm 

х^° sinx

Розв'язання:

е2х-1 ^6* ^

hm       = ^^    

х^° sinx lim sin х

х->0

отже можна застосувати правило Лопіталя.

е2х -1 (е2ї-1)' 2е2х 2

hm       = lim    = lim    = — = 2.

lim        = lim   

х^° sinx х^° (sinx)' х^° cosx 1

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції 97

Відповідь: lim  = 2.

х^° sinx

1 - cosax

Приклад: Обчислигищаницю nm    .

*^°1-cosox

Розв'язання:

.. (\-cosax)' ,. asmax

 hm      — = hm          

(1 - cos bx)' M° b sin bx

.. 1- cosax

hm      

м01 - cos bx

 a cosax a

 lim—   = —

x->0

M° bcosbx b

B даному прикладі правило Лопіталя застосовано двічі.

,. 1 - cosax a1

Відповідь: hm — = —.

             *->°l-cos&c b1

Приклад: Обчислиги границю ^^xctgZx. Розв'язання:

hmxctg2x = limx • \imctg2x = [0 • оо]

х—>0  х—>0  х—>0

Перетворимо функцію, записавши її у вигляді дробу

х' cos22x

hm       = lim    = —.

^o(tg2x)' ^о 2  2

lim xctglx = lim = —

*->°     *^°tg2x |_0

1 Відповідь: hmxctg2x = —.

x^O     2

Приклад: Обчислити границю lim(?gx) s

Розв’язання: Легко встановити, що маємо випадок И °° ]. Прологарифмуємо функцію і шукатимемо границю її логарифму:

a = lim(tgx)'g2x,

х—>— 4

tg2*     Лг2*    ІП^Х

In a = In \im(tgx)s x = \im(\n(tgx)s x) = \im(tg2x In tgx) = lim

х^- c?g2x

71        71        71

X—>—           X—>—           x—>—

44        4

Застосуємо правило Лопіталя:

98        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції

 (lnfet)' ,. tgx-cos2 x .. -sin 2x ,.           . „ .

ma = lim           = hm   = hm    = hm(-sm2)

>^2sinxcosx

x—>— 4

*-4 (ctglx)' ^

sin 2x

Звідси a = e

Відповідь: \im(tgx)

ftj2x     -1

= e .

X

 

1

^smx xj

Приклад: Обчислити границю lim

i-»0

Розв'язання:

 

lim

x->0

[CO — CO].

Vsinjc xj

Перетворимо функцію, привівши до спільного знаменника:

 

1

lim

х->0

 

\smx XJ Застосуємо правило Лопіталя:

x-smx

lim

х^° xsinx

 

xsinx x^° (xsinx)' sinx

,. x-sinx ,. (x-sinx)' ,. 1-cosx

hm       = hm    = hm  

0.

x^O     *->0    i->0 sinx + XCOSX

lim

*° 2cosx-xsinx

(1-cosx)

hm      

x^° (sinx xcosx)

 

0.

Відповідь: li"?

            a          a— x->0

Vsinx xj

За допомогою правила Лопіталя легко довести більшість “чудових" границь.

Наприклад,

lim

х->0

lim

х->0

arcsin х            (arcsin х)'         Jl- х2

• lim

х->0

X

X

1;

 

• lim

 

1 +

V xj

позначимо a, і будемо шукати логарифм границі:

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції 99

 

In 1 + -

x

( iY ( ( i

In a = In lim 1 + — = lim x ■ In 1 + -

 [0 ■ co] == lim

X—>CO         1

X

1          (           1

= lim

X—>CC

In' 1 +

1 + i

lim        ^-

X—>CC

lim       

X—>CO         1

1+ —

In a = 1, отже a = e.