5.11. Загальна схема дослідження функції і робудова їх графіків.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Для поб}дови графіку функції зручно користуватись схемою, в якій узагальне-но матеріал даного розділу.

1.         Знайти область визначення функції.

2.         Визначиги чи функція є парна, непарна та періодичність функції.

3.         Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

4.         Знайти проміжки монотонності і екстремуми функції.

5.         Знайти напрямки опуклості і точки перегину графіка функції.

6.         Побудувати графік функції, використовуючи всі одержані результати дослі-джень. Якщо їх виявилось недостатньо, то потрібно знайти ще декілька точок графіка функції, виходячи з її рівняння.

Приклад: Побудувати графік функції у =     .

Розв’язання:

1.         Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто х eR. Далі

знаходимо Нт у = —оо ; Нт у — -co.

X—>-со         х—>+со

л 3       4

 _         ,           .. . -4х -х

2.         Визначимо чи функція є парною чи непарною: / (-х) =   ;

Д-х) ^ fix), Л~х) *- ~АХ)- Отже, функція є ні парною ні непарною.

3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

94        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції

\y = 0, I y = 0, I x = 0

OX: <  <          ОУ: <

x = 0, [x = 4,   [y = 0 '

4. Знаходимо проміжки монотонності i екстремуми функції:

4          з 1 4

—х —X

5          5

41 2 1 „ 3 4 2  ,           .

у'

 

— Зх   Лх =—х (3-х), у-0,прих=0іх =3.

V

5          5          5

Відмітимо критичні точки першого роду х — 0 і х — 3 на числовій прямій і дослі-джуємо знак похідної в кожному із одержаних проміжків: у'(-1)>0, у (1)>0, у'(4)<0. Функція зростає при х<3 і спадає при х>3; х — 3 - точка максимуму

4-27-81 27

Утш ~ У\3) ~  = — = 5,4 . Дані запишемо в таблицю (табл. 1).

5          5

 

X         (-оо;0) 0          (0;3)    3          (3;оо)

у'         +          0          +          0          -

у          S          0          S          5,4       X

                                               max     

5. Знаходимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції.

2

12. 4. 9 12       .

у"

X

X

 

—2х    Зх =—х(2-х)

3

5          5          5

Отже, у"— 0, прих^О, х2=2. Відмітимо критичні точки другого родух — 0 іх =2 на числовій прямій і досліджуємо знак другої похідної в кожному із одержаних інтерва-лів: у=(-9)<0, у"{ 1)>0, у(3)<0.

Графік функції повернутий опуклістю вниз при 0<х<2; і вгору при х<0 і х>2 х =0, у — у(0) — 0,

4-8-16 16

           

х = 2, v = у(2) =

т.п.      ^ т.п. ^

3,2

5          5

Точки перегину графіка функції (0; 0) і (2; 3,2). Дані запишемо в таблицю (табл. 2).

 

X         (-00, 0)            0          (0, 2)   2          (2,+oo)

rrr        -          0          +          0          -

f           n          0          u          3,2       n

Розділ 5. Похідна. Застосування похідноїдо дослідження функції 95

Відмітимо всі одержані точки в системі координат і з’єднаємо їх плавною кри-вою. Для угочнення графіка знайдемо додатковуточку>>(-1) — -1.

4х3-х4