5.10. Опуклість і точки перегину кривої.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

На проміжку а<х<Ь графік функції є опуклий вгору, якщо він лежить нижче дотичної, яка проведена в будь-який його точці.

Y

 

1          ";          '           К,

a          b          с          X

Рис. 7

На проміжку Ь<х<с графік функції є опуклий вниз, якщо він лежить вище дотичної, яка проведена в будь-який його точці.

Легко побачити, що на проміжку опуклості графіка функціїДх) вгору похідна fix) спадає (куги нахилу дотичних до графіка функції на цьому проміжку послідовно зменшуються); а на проміжку опуклості вниз похідна/(х) зростає (куги нахилудоти-чних до графіка функції на цьому проміжку послідовно збільшуються).

Достатня умова опуклості кривої.

Графік двічі диференційованої функції y=f{x) є опуклим вгору на проміжку а<х<Ь, якщо друга похідна функції від'ємна в кожній точці цього проміжку:

/ "{х)<0 для а<х<Ь.

Графік двічі диференційованої функції у — f(x) є опуклим вниз на проміжку Ь<х<с, якщо друга похідна функції додатня в кожній точці цього проміжку:

f"{x)>0 для Ь<х<с.

Доведення. Нехай/'(х)<0 для всіх а<х<Ь. Тому що/'tX) є першою похідною для функції/(х), TOf\x) спадає на цьому проміжку (п. 4.6). Спадання похідної на проміжку (а; Ь) вказує, що графік функції/^ на цьому проміжку опуклий вверх. Аналогічно доводиться для випадку//(х)>0 на (a; Ь).

92        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції

Точкою перегину неперервної функції називається точка^, при пфеході через яку графік функції змінює свою опукпість.

Необхіднаумова існування точки перегину. Якщо функція>>=Дх) має непфе-рвну похідну до другого порядку включно на інтервалі (а; Ь) і точка (х„, ЯхУ) є точкою перегину графіку функцій}>=Дх), то/'(х)=0.

Доведення. Оскільки точка (х0; Дх0 )) , єточкою пфегину, то справа і зліва відх0 друга похідна/'(х) має різні знаки. Внаслідок непффвності другої похідної отрима-ємо/'(х)=0.

Достатня умова існування точки перегину. Нехай фушсція y=f(x) двічі диффе-нційована на (а; Ь) і при пфеході через точкух0 є (а; Ь) її друга похідна змінює знак. Тоді точка кривої з абсцисою х=х0 є точкою перегину.

Доведення. Нехай/'(х)<0, при х<х0 і/'(х)>0 при х>х0. Тоді при х<х0 графік функції повернений опуклістю вверх, а при х>х„ - опуклістю вниз. Таким чином. точка (х0,/(х0)) є точкою пфегину графіка функції^^Дх) згідно з означенням.

Аналогічно доводимо, якщо/'(х)>0 при х<х0, і/'(х)<0 при х>х0.

Точками підозрілими на перегин є точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками II роду.

Якщо при переході через критичну точку II роду х — хд друга похідна функції змінює знак, то х„ - абсциса точки перегину. Ордината точки перегину дорівнює значенню функції в точці х . Точка (хДх0)) - точка перегину графіка функції^ =Дх).

Щоб знайти напрямки опуклості і критичні точки другого роду потрібно:

1.         Знайти область визначення функції.

2.         Знайти другу похідну функції і критичні точки другого роду

3.         Відмітиги границі області визначення і кригичні точки другого роду на число-вій прямій.

4.         Дослідити знак другої похідної в кожному із одфжаних інтервалів.

5.         Встановиги проміжки опуклості.

6.         Визначити абсцису точки перегину і обчислити її ординату

Приклад: Визначиги напрямки опуклості і точки перегину функції

у — х4+2х3-12х2-5х+2. Розв'язання:

1.         Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобтохє^.

2.         Знайдемо другу похідну функції і критичні точки другого роду: у'=Ах3+6х2-2Ах-5;у"= \2х2+\2х-2А;у"= 12-(х2+х-2);У=0прих2+х-2=0

-1±л/ї+8 -1±3

Xj 2 =  =          ; х1 =-2,х2=1-

2          2

3.         Відмітимо кригичні точки другого роду х — -2 і х — 1 на числовій прямій, дані

занесемо у таблицю.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції 93

 

X         (-co;-2)           -2        (-2; 1)  1          (l;+co)

y"         +          0          -          0          +

y          U         -36      n          -12      u

4.         Досліджуємо знак другої похідної в кожному з інтегралів:

y"{-Vy>0, y"{0)<0, y"(2)>0 .

5.         Крива опукла вниз при х<-2 і х> 1, крива опукпа вверх при -2<х<1 .

6.         Знайдемо координати точок перегину (т. п.)

х =-2, у =у(-2) = 16-28-12-4+5-2+2 = -36;л: =1,у =у(1) = 1+2-12-5+2 = -12.

Т.П.     ■'т.п. ^ v         т.п.      ^ т.п. ^

Відповідь: Точкиперегину(-2; -36); (1; -12).