5.9. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Найбільшим значенням функції на проміжку називається більше з усіх її зна-чень, які вона приймає на цьому проміжку а найменшим значенням - менше із всіх ії значень.

Неперервна на проміжку (а; Ь) функція може мати тільки одне найбільше і тільки одне найменше значення на цьому проміжку або не мати їх зовсім.

Знаходження найбільшого і найменшого значення неперервних функцій Грун-тується на наступних властивостях цих функцій:

1.         якщо в деякому відкритому проміжку а<х<Ь функціяДх) неперервна і має

тільки один екстремум і якщо це максимум, то він і є найбільшим значенням функції,

а якщо мінімум - найменшим значенням функції в цьому проміжку;

2.якщо функціяу = flx) неперервна на відрізку а<х< Ь, то вона обов'язково має на цьому відрізку найбільше і найменше значення. Ці значення досягаються нею в точках екстремуму які лежать всередині відрізка, або на кінцях цього відрізка.

Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку. 1.Знайти екстремуми функції на даному відрізку [а; Ь].

2.         Знайти значення функції на кінцях відрізкаДа) ifljb).

З.Із усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад: Знайти найбільше і найменше значення функції:

х 2 з 3 2          • •

у=        х          х +2 навідрізку-2<х<4.

4 3       2

Розв’язання: Знайдемо екстремуми функції. Для цього знайдемо похідну

функції і критичні точки першого роду з умовиу'=0;

у =—4х           Зх        2х = х —2х -Зх = х(х -2х-3);

4          3          2

y'^OnpHXj = 0;л: = -1;JC = 3.

Відмітимо кригичні точки першого родух = - 1,х = 0,х = Зна числовій прямій.

gg        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції

у'

 

у

Ч "1

/ 0 ^

рис. 6.

/

X

Досліджуємо знак похідної в кожному з одержаних інтервалів:

>>'(-2)<0 ; у(-0,5)>0 ; У(1)<0; У(4)>0. Таким чином (рис. 6):

... 1 2 3            17

7min = .У(І) = —'       1-2 = —;

4 3 2    12

Утах = .У(О) = 2;

.,. 1 2 3„ . 81   27 . „1

^тіп = >'(-') = —81    27        9 + 2 =            18        ь2 = 9— .

4 3       2          4          2          4 '

2. Знайдемо значення функції на кінцях відрізку:

,           I 1 , 2 0 3. „ . _ I , . _ I

у{-2) = —16 н—о      4 + 2 = 4 + 5   6 + 2 = 5 — ;

4          3 2       3          3

 1         2 3 .     128      192-128-72 + 6 2

у(4) =—256    64        16 + 2 = 64     24 + 2 =          = —.

4          3          2          3          3          3

/ \ 1 3. Отже, найбільше значення функції у = у{- 2) = 5—; а найменше значення

функції у = дЗ) = -9

1          1

Відповідь: у(-2)— 5 —, v(3) = -9 —.

3          4

Приклад2:

Потрібно виготовити закритий циліндричний бак об'ємом 250 см3. Якими по-винні буги його розміри, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість мате-ріалу?

Розв'язання:

Тут потрібно визначити радіус основи R і висоту//циліндра так, щоб при зада-ному об'ємі площа його повної поверхні була найменшою. Площа повної поверхні циліндра обчислюється по формулі:

S — 2nRH+2iiR2.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції 89

Найменше значення цієї функції і потрібно обчислиги.

Тому, що S є фуіжцією двох незалежних змінних, то одну із них потрібно виклю-чити. Відомо, щооб'єм циліндра V— TiR2H = 250л. Виразимо//через V:

тт 250л: 250 . 250 „ „2 500 я" , „2

/І =      = — тоді о = 2яя — + 2яя = ь 2яя .

^і?2 R 2           R 2      R

1.         Областю визначення функції S є додатні значення радіуса, тобто R>0.

500^ . п

2.         Знаходимо похідну: о =        —Ь4як.

Д2

3.         Знайдемо кригичні точки:

г>2

—ь4як = 0, 4як = 500я\ я =125, я = 5

4.         Знаходимо другу похідну:

. 500я"(7? ) ,, 5Шж-2Я . ІОООя"

S =      ).—и + 4ж =   -.         h 4я" = т.         v 4я\

к          к          к

5.         Тому, що S "(5)>0, то при R — 5 фушсція досягає мінімуму, який і є найменшим

, ..._.„ 250 _ тт 250

значенням функци S. Тоді Я = —j, або я =            = 10 .

R         25

Отже, на виготовлення циліндричного бака витрачається найменша кількість матфіалу, якщо довжина радіуса основи циліндра дорівнює 5 см, а висота циліндра -10 см.

Приклад 3. Потрібно виготовити ящик з кришкою, сторони основ якого відно-сяться як один до двох, а площа повної поверхні 108 см2. Якими повинні бути його розміри, щоб його об'єм був найбільшим?

Розв’язання: Тутпотрібновизначитисторони основ аіЬтависоту//прямо-кутного паралелепіпеда, щоб при заданій площі повної поверхні його об'єм був найбільшим.

a 1 За умовою: ~ = ~, звідки a = х, b =2х. Об'єм прямокутного паралелепіпеда Ь 2

дорівнює V— a-b-H, або V— 2х2-Н. Потрібно виключитизмінну//. Відомо, що S— 108 CM2 і S =2S + S,.; S,. —Р Н.

ОСН.  ОІЧ     014.     осн.

Отримаємо:

S— 2х-2х+(х+2х)2Н=4х2+6х-Н; <\х2+6х-Н= 108; 6х-Н— 108-4х2;

90        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції

ТОДІ

rr 108 - 4x 106 4x 18 2

// =       =          =          x

6x        6x 6x x 3

 2| 18 2 Ї 4 з

V = 2x x \ = 36x          x .

x 3 J     3

Дослідимо дану функцію за допомогою похідної:

1. Областю визначення функції Ve додатні значення х, тобто х>0 .

2.3шходимопохідну F' = 36—Зх2 = 36-4х2; приК=0; 4гг=36;л?= 9;;к:=3.

3. Знаходимо другу похідну: V— -8х; V"{Y)<0, тобто при х — 3 функція має максимум, який і буце найбільшим значенням функції. Тоді:

„ 18 2, , ,

Я =      3 = 6-2 = 4.

3 3

Відповідь: Об'єм ящика є найбільшим, якщо сторони його мають довжини 3 і

6 см, а висота рівна 4 см.

Приклад 4. Число 10 розбиги на два додатніх доданки так, щоб сума їх кубів бупа найменшою.

Розв’язання: Нехай одиніз доданків дорівнюех, тоді другий доданок буце 10-х. Сума кубів цих доданків дорівнює:

5'=х3+(10-х)3 = х3+1000-300х+30х2-х3; S— 30х2-300х+1000. Найменше значення цієї функції і потрібно визначиги.

1.         Областю визначення цієї функції є додатні значення х, тобто х>0.

2.         Знаходимопохідну: 5" — 30-2х-300 — 60х-300, при5" =0, 60х — 300, х — 5.

3.         Знайдемо другу похідну: S" — 60, 5"'(5)>0, тобто при х — 5 функція S має мінімум, який і є найменшим значенням функції.

Відповідь: Число 10 потрібно розкласти на два рівних доданки: 5 і 5.

Приклад 5. Закон прямолінійного руху тіла заданий рівнянням:

S — -fi+9t2-24t-8 . S -в метрах, t -в секундах. Знайти максимальнушвидкість рухутіла. Розв’язання: Швидкість руху тіла в даний момент часу дорівнює похідній шляхуб'.

V(t) — 5"= -3t+18t-24. Досліджуємо цю функцію на екстремум за допомогою другої похідної:

V'(t) — -6?+18, V{t)—0; ґ=3с; V'{f) = -6 . Друга похідна від'ємна; звідси слідує що швидкість є найбільшою при t — Зс.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції 91

Максимальна швидкість руху дорівнює:

V(3) — -3-32+18-3-24 — -27+54—24 =3. Відповідь: V = 3м/с.

~          ~          max