Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
5.8.Дослідження дії на екстремум за допомогою другої похідної. : Вища математика : Бібліотека для студентів

5.8.Дослідження дії на екстремум за допомогою другої похідної.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Часто буває доцільним досліджувати функцію на екстремум за допомогою другої похідної. Розглянемо суть цього методу.

Знак першої похідної характеризує зростання і спадання функції. Знак другої похідної пов'язаний зі зростанням та спаданням першої похідної.

Якщо^' на (a; Ь) диференційована і зростає, то>>">0 на цьому ж інтервалі; якщо ж^'спадає на (а; Ь), тоу"<0 в кожній точці цього проміжку Перша похідна при пфеході через точку максимуму пфеходигь від додатніх значень до від'ємних, тобто спадає. Отже, її похідна повинна буги від'ємною.

Таким чином, в точці максимуму функції перша похідна рівна нулю, а друга похідна від'ємна.

Аналогічно можна довести, що в точці мінімуму функції друга похідна додат-ня. Звідси випливає достатня умова існування екстремуму функції.

Якщо в точці х — х. перша похідна функції дорівнює нупю if Тх„) =0), а друга похідна відмінна від нуля, TO Х — xQ - точка екстремуму

При цьому якщо друга похідна в цій точці додатня if '(х0)>0), то х — х0 - точка мінімуму якщо друга похідна в цій точці від'ємна (/"(х„)<0), то х — х„ - точка макси-муму

Схемадослідження

ікихі на екстремум за допомогою

гоїпохідної.

1.         Знайти область визначення функції.

2.         Знайти першу похідну функції і точки, в яких вона перетворюється в нуль.

3.         Знайти другу похідну фушсції і дослідиги її знак в кожній з кригичних точок.

4.         Визначити точки екстремуму і обчислиги (якщо потрібно) значення функції. Приклад 1. Знайти екстремум функціїДх) — х3-3х2+1.

Розв’язання:

1.         Область визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто D(f)=R.

2.         Функція має похідну на всій числовій прямій, тому кригичні точки визначає-мо з умови/ (х)=0:

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції 87

а)         f{x)= Зх2 - 6х;

б)         3x2 - 6x — 0, 3x(x- 2) —0,x,— 0,x.— 2.

3.         Знаходимо другу похідну функції

а)         f"(x) — 6x-6;

б)         досліджуємо знак другої похідної в кожній критичній точці:

/"(0) — -6<0, f"(2) — 6>0.

4.         Отже,х — 0 -точкамаксимуму,у — у(0) — 1; х = 2 -точкамінімуму

у . = у(2) =23 - 3 =5.

у mm •*