5.7.Екстремум першої похідної.
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
Розглянемо графікдеякої функції^ =Дх) (див. рис. 5).
YІ І у'=0 у' не існує
у'=о \ хз 1
X] X 2 Рис. 5
Бачимо, що на проміжках (-co ; х2) u (х ; х4) функція зростає, а на проміжках {х ; х) u (х ; со) фушсція спадає. Як видно, в точках х , х, х4 функція змінює характер монотонності. Такі точки називають точками екстремуму функції.
Означення: Точках — а називається точкою екстремумудля функціїДх), якщо в околі цієї точки виконуються одна з умов:
Розділ 5. Похідна. Застосування похідної до дослідження функції 85
1. f{d)>f(x), для всіх х з даного околу
2.Да)<Дх), для всіх х з даного околу
Якщо для точки х — а виконується перша умова, то її називають точкою макси-муму, якщо друга - точкою мінімуму.
Необхідна умова існування екстремуму диференційованої функції - теорема Ферма: яшцо/(х) вт.і=я має екстремум, то її похідна в ційточці рівна нулю, або не існує.
Геометрично це означає, що в точці екстремуму дотична до графіка функції паралельна осі ОХабо її неможливо провести (див. рис. 5 т. х., х„). Обернене твер-дження невірне (див. рис. 5 Т. X ).
Достатньою умовою існування екстремуму в точці х=а є зміна знаку похідної при переході через дану точку
Якщо при переході через точкух=а похідна змінює знак з мінуса на плюс, то точка х=а є. точкою мінімуму якщо з плюса на мінус - точкою максимуму
3 вищезгаданого випливає, що точки в яких похідна рівна нулю або не існує є лише підозрілими на екстремум, або критичними точками I роду.
При дослідженні функції на екстремум слід знайти всі її критичні точки I роду і встановиги знак похідної зліва і справа від них.
Схема дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.
Неважко виділити основні моменти дослідження функції на екстремум:
1. Встановити область вшначення заданої функціїДх);
2. Визначиги критичні точки функції.
а) знайти похідну функції/ (х);
б) встановити, при яких значеннях аргументу^ —0 або^ 'не існує.
3. Встановити проміжки монотонності:
а) розбити область визначення функції критичними точками на проміжки;
б) встановити знак похідної на кожному проміжку;
в) зробити висновок про характер монотонності функції на кожному з
проміжків.
4. Визначити екстремальні точки.
Для зручності, результати дослідження оформляють у вигляді таблиці. Наприклад, дослідимо функціюДх) — х3 - Зх2 на екстремум. Працюємо за схе-мою.
1. D(f(x)) — (-00; +оо).
2. Визначимо кригичні точки: а)/ (х) — Зх2-бх;
б)/(х) — 0 при Зх2 -6х — 0; Зх(х-2) — 0; х — 0; х — 2.
3. Встановимо проміжки монотонності.
86 Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції
X (-GO ; 0) 0 (0 ; 2) 2 (2 ; +oo)
/ Xх) +0 - 0 +
f (x) S 0 \ - 4 S
max mm
4. Зробимо висновки:
а) точка (0 ; 0) є точкою максимуму даної функції;
б) точка (2 ; -4) є точкою мінімуму даної функції.