5.7.Екстремум першої похідної.

Розглянемо графікдеякої функції^ =Дх) (див. рис. 5).

YІ        І у'=0               у' не існує

у'=о                 \ хз 1   

X]        X         2          Рис. 5 

Бачимо, що на проміжках (-co ; х2) u (х ; х4) функція зростає, а на проміжках {х ; х) u (х ; со) фушсція спадає. Як видно, в точках х , х, х4 функція змінює характер монотонності. Такі точки називають точками екстремуму функції.

Означення: Точках — а називається точкою екстремумудля функціїДх), якщо в околі цієї точки виконуються одна з умов:

Розділ 5. Похідна. Застосування похідної до дослідження функції 85

1. f{d)>f(x), для всіх х з даного околу

2.Да)<Дх), для всіх х з даного околу

Якщо для точки х — а виконується перша умова, то її називають точкою макси-муму, якщо друга - точкою мінімуму.

Необхідна умова існування екстремуму диференційованої функції - теорема Ферма: яшцо/(х) вт.і=я має екстремум, то її похідна в ційточці рівна нулю, або не існує.

Геометрично це означає, що в точці екстремуму дотична до графіка функції паралельна осі ОХабо її неможливо провести (див. рис. 5 т. х., х„). Обернене твер-дження невірне (див. рис. 5 Т. X ).

Достатньою умовою існування екстремуму в точці х=а є зміна знаку похідної при переході через дану точку

Якщо при переході через точкух=а похідна змінює знак з мінуса на плюс, то точка х=а є. точкою мінімуму якщо з плюса на мінус - точкою максимуму

3 вищезгаданого випливає, що точки в яких похідна рівна нулю або не існує є лише підозрілими на екстремум, або критичними точками I роду.

При дослідженні функції на екстремум слід знайти всі її критичні точки I роду і встановиги знак похідної зліва і справа від них.

Схема дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

Неважко виділити основні моменти дослідження функції на екстремум:

1.         Встановити область вшначення заданої функціїДх);

2.         Визначиги критичні точки функції.

а)         знайти похідну функції/ (х);

б)         встановити, при яких значеннях аргументу^ —0 або^ 'не існує.

3.         Встановити проміжки монотонності:

а)         розбити область визначення функції критичними точками на проміжки;

б)         встановити знак похідної на кожному проміжку;

в)         зробити висновок про характер монотонності функції на кожному з

проміжків.

4.         Визначити екстремальні точки.

Для зручності, результати дослідження оформляють у вигляді таблиці. Наприклад, дослідимо функціюДх) — х3 - Зх2 на екстремум. Працюємо за схе-мою.

1.         D(f(x)) — (-00; +оо).

2.         Визначимо кригичні точки: а)/ (х) — Зх2-бх;

б)/(х) — 0 при Зх2 -6х — 0; Зх(х-2) — 0; х — 0; х — 2.

3.         Встановимо проміжки монотонності.

86        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції

X         (-GO ; 0)         0          (0 ; 2)  2          (2 ; +oo)

/ Xх)    +0 - 0 +

f (x)      S          0          \           - 4       S

                        max                 mm     

4. Зробимо висновки:

а)         точка (0 ; 0) є точкою максимуму даної функції;

б)         точка (2 ; -4) є точкою мінімуму даної функції.