5.6. Проміжки монотонності.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

3 допомогою похідної можна дослідити функцію, побудувати її графік, знайти найбільше і найменше значення на проміжку і т.д.

При дослідженні функції важливу роль відіграє поняття монотонності.

Функція називається монотонною, якщо вона зростає (не спадає) або спадає (не зростає) в області свого визначення. Більшість функцій є кусково-монотонними. тобто зростають (не спадають) чи спадають (не зростають) на певних проміжках. Такі проміжки називають проміжками (інтервалами) монотонності.

Нагадаємо, що функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, і спадною - якщо більшому значен-ню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто, якщо для х>ху де х , х2 належать (а; Ь) виконується yMosa,fx^)>fx^, то функціяДх) зростає на (а; Ь); якщож виконується умоваДх1)<Дх2), то функціяДх) спадає на (а; Ь).

Для встановлення проміжків монотонності функції використовують наступну теорему:

Теорема. (Необхідна та достатня умова монагонності функції на проміжку.)

Якщо диференційована функція^ —fix), хє(а; Ь), зростає (спадає) на(а; Ь), то / (х) > 0 (f \х) < 0) для будь-якого х з цього проміжку Справедливе і обернене твер-дження: якщо/ (х) > 0 (/ (х) < 0) то функція зростає (спадає) на цьому проміжку

Доведення. ЯкщоДх) зростає на (а; Ь), то дотична до неї в будь-якій точці утворює гострий кут з додатнім напрямком осі ОХ. Тому що тангенс гострого кута є додатня величина, то з геометричного змісту похідної tga —f \х) випливає, що / (х) >0 на (а; Ь). Це легко проілюструвати графічно (див. рис. 3).

tga>0,

tgcci>0 рис. 3

рис. 4

tga<0, tga!<0

ІГ

g4        Розділ 5. Похідна. Застосування похідної do дослідження функції

Аналогічно, функціяДх) спадає на (a; Ь), то/ (х)<0 на (a; Ь) (див. рис. 4). Доведемо достатню умову. Нехай/(х)>0 на (а; Ь). Це означає, що 1іт-

> 0

для всіх х з даного проміжку. Границя додатня, якщо Af >0 і Дх>0, або Af<0 і Дх<0. Згадаємо означення приростів функції та аргументу і розпишемо співвідношення:

Ах — х-х >0, звідсих > х,;

2          I           2          I

Af = fix^) -Дх: )>0, звідсиДх^) >У(хі); (аналогічно, при Zkx<0, А/<0) . Бачимо, що більшому значенню аргуменгувідповідає більше значення функції, отже дана функція зростає на (а; Ь).

Аналогічно доводиться достатня умова спадання функції. Напршшад, знайдемо проміжки монотонності функціїДх) — х2 - 8х + 12. Похідна f \х) — 2х - 8 буде додатньою, якщо 2х - 8>0, тобто х > 4. Отже, функція спадає на проміжку (-оо ; 4) і зростає на проміжку (4 ; +оо).

;ії на екстремум за допомогою

ЖЦІЇ.ДОСЛІДЖЄННЯ