5.5. Похідні вищих порядків.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Похідну від даної функції називають першою похідною цієї функції (похідною першого порядку).

Очевидно, що похідна теж є функцією, і якщо вона диференційована, то і від неї можна взяти похідну. Таку похідну називають другою похідною, або похідною другого порядку і позначають у " f"(x).

Оіже,

y"—{f \х))'.

Аналогічно,

у'"= if"{x))' і т. д.

Таким чином, похідною и-ого порядку від функціїу = fix) називають похідну від похідної (и - 1)-ого порядку, при умові її існування, і позначають:

v ^ — iff"-1) (х\)'

Фізичний зміст другої похідної - це прискорення зміни функції по відношенню до аргументу.

Розглянемо приклали знаходження похідних.

Прикладі.

т „        ...         с 3 о    3

Знаити похідну фушсціі у = JX — ІХЛ— .

X

Розв’язання: Дана функція є алгебраїчна сума функцій. Продиференціюємо її:

 3

у'= (5х3)'-(2х)'+ — =5(х3]-2х'           =

х2

5-Зх2-2 —- = 15х2 -2 —-

х1        х1

і -1 ґ 2 г. 3

Відповідь: у =15х -2 

            a          S2_ У  2

X

Приклад 2. Знайти похідну функції fix) —

X +1

Розв’язання: Застосовуючи формулу похідної частки отримаємо:

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції 77

... . (x +l)[x I—\x +1) x 2x\x +\)—2x-x

J W =  2          2         =          2          2          =

(x +1)  (x +1)

 

2x(x2 +1 - Xі j 2JC

(x2+l)2 (x2+l)2

Відповідь: /'(JC)

(X +1) Приклад 3. Знайти похідну функції^ — sin3(p і вирахувати її значення при

Я

Ф

Розв’язання: Це складена функція з проміжним аргументом sirup. Викорис-товуючи формупи 7а і 10, отримаємо:

/ (ф) — 3sirAp-cos(p.

„          ..          п

Вирахуємо значення похідноі при ср = — :

/'

— = 3sm —cos —

3 J       3          3

V3

, 2 ,

1,31 9

— = 3  = —

2          4 2 8

n 9 Відповідь: f'( — ) = ~ .

3 8

1          2          1

Приклад 4. Знайти похідну функції у — — cos х - In cos х .

Розв’язання: Це скпадена функція з проміжним аргументом cosх. Одержимо:

, (I 2 і іл           V I       / V (cosx)        / . \ -sinx

у = —cos х -(mcosxj = —-2cosx(cosxJ —     = cosx(-smxJ  =

v2        )           2          cosx     cosx

sin x - sin x- cos x sinxll-cos x) sinxfsin x)        . 2

=          =          *          ' =        = tgx-sm x .

cosx     cosx     cosx

Відповідь: y' = tg x • sin x.

7g        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослідження функції

Приклад 5. Знаити похідну функци j/ =     .

tgx

Розв’язання: Продиффенціюємо дану функцію

 

1          /           \ 1

= tgx(tgx -1) - (tgx - l|tgx) = cos2 x     cos2

 2         2

ь 2 V &           ^2

COS X                        COS X

tgX      tg X

(tg x - tg X + 1)

9          ■„ 2     2

cos x    1          sm x     cos x

 

2          2          2          2-2      -2

tg x      cos x cos x cos x-sm x sm x

 

Відповідь: /

sin x

V^2

Приклад 6. Знайти похідну функції S = In  i обчислити її значення при

t — 2 .

Розв’язання: Спочатку перетворимо функцію, використовуючи властивості

1 / 2^

логарифмів: о = In ґ - — mil + ґ Тепер продиференціюємо:

_,, ., , 1 , /. 2"\ о = (in t) - — mil + М

v.2       у

1          \\ 1 1 (1 + ?2) 1 1 2t

і t _\+t2-t2 і

           

і t \+t2-t2 l

            —т      \— —т            X .

t \ + t2 t\l + t2J t\l + t2J Обчислимо значення похідної при t — 2

S'(2) = 0,1. Відповідь: S'(2) = 0,1.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїdo дослідження функції 79

Приклад 7. Знайти похідну функції у

прих = 0.

Розв'язання:

2x

2+V4+5

і обчислиги її значення

(2 + л/4 + 52х)-(52х)'-|2 + л/4 + 52х ] -52х

у'

2 + л/4 + 52х

 

2+V4+5

2 + V4 + 52x -52х-1п5(2х)

 

•V'

(4 + 52х)

2-V4 + 5

 

2+V4+5

2 + V4 + 52x -52х-1п5-2-

 

•V

5 х -1п5-2 2х

2-V4 + 5

 

2+V4+5

52x-ln5-fW4 + 52x+2(4 + 52x)-52x

л/4 + 52х

 

4 + 4л/4 + 52х +4 + 52х

>zx-ln5|8 + W4 + 52x+52x |

5 m5

 

/4 + 5

УІ4 + 52Х

Обчислимо значення похідної при х — 0:

Відповідь: у'

 

5 х -1п5

V4 + 5

у' (0)

; У(0)

 

о

5 1п5 1п5

 

л/5

V4 + 5

In 5

V5

80        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції

Приклад 8. Скласти рівняння дотичної до графіка функції

2 3       2 о       -,         ■ лґ?

у =—X —X —2х + г> вточщДЗ; 6). 3 Розв’язання: Для знаходження кугового коефіцієнта дотичної спочатку знайдемо похідну даної функції:

у'= — Зх -2л-2 = 2л -2л:-2 3

Куговий коефіцієнт дотичної рівний значенню похідної функції при х — 3:

£=>>'(3) = 2-32 - 2-3 - 2=18 - 6 - 2=10 . Рівняння дотичної має вигляд:

у- 6— 10(л-3), абоу-б^ 10 -х — 30, тобто 10л —у — 24 = 0. Відповідь: Рівняння дотичної має вигляд 10л —у - 24 — 0.

Зл-4

Приклад 9. Скласти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції У =     

2л-3

в точці з абсцисою х — 2.

Розв’язання: Спочатку знайдемо ординату точки дотикуА(2; у). Тому, що точка А лежить на кривій, то її координати задовольняють рівняння кривої, тобто

3-2-4 6-4        .

у =       =          = 2 ; А(2; 2) .

2-2-3 4-3

Рівняння дотичної, проведеної до кривої в точці А(2; 2), має вигляду-2 — к(х -2).

Для знаходження кутового коефіцієнта дотичної знайдемо похідну:

, (2л-ЗЇЗл-4)'-(2л-3)'(Зл-4) з(2л-3)-2(Зл-4І

V =      у2        \т         =         —        ^г        =

(2л-3)2            (2л-З)2

6л-9-6л + 8    1

 

(2л-З)2            (2л-З)2

Кутовий коефіцієнт дотичної рівний значенню похідної функції при л — 2:

,           ,/_\       1          1

к - у 12) = --,  у- = — = -1

(22-Г

Рівняння дотичної запишеться:

у- 2 — - (х- 2),у- 2 — 2 -х, тобтол + у- 4 — 0 . Відповідь: Рівняння дотичної л + у - 4 — 0 .

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження фунщії 81

Приклад 10. Закон рухуточки по прямій заданий формулою S = 5f-3t2+4 (S -в метрах, t -в секундах). Знайтишвидкістьрухуточкивкінціпершоїсекунди.

Розв’язання: Швидкість руху точки в даний момент часу рівна похідній шляхуб' по часу t:

V(t) — S'' — I5t2 - 6t, V(l)— 15 - 6 = 9.

Відповідь: Швидкість pyxyточки в кінці першої секунди рівна 9 м/с.

Приклад 11. Тіло, кинуте вертикально вверх, рухається згідно закону

S = V0t ~ — gt , де V, - початкова швидкість, g - прискорення вільного падіння тіла.

2          °

Знайти швидкість цього руху для будь-якого момешу часу t. Скільки часу буде підні-матися тіло і на яку висоту воно підніметься, якщо V= 40м/с.

Розв’язання: Швидкість руху тіла в даний момент часу t рівна похідній шляху S по часу t:

V(t) = S' = V0 —git = V0— gt 2

У найвищій точці піднімання швидкість тіла рівна нулю:

Va 40

V0 - gt = \), gt = V0, t = — ;t = — « 4,1; t = 4,1c.

g          g

40 3a ( ) секунд тіло піднімається на висоту: S

 40 1 1600 1600 800 800       / \

S = 40 — - — g —— =         =          = 81,61 м I.

g          g g g

Відповідь: )У=81,6м.

Приклад 12. Знайти другу похідну функції/fo) — esmx Розв’язання: Спочаткузнайдемо першупохідну

f'(x) — esmc(sinx)' — esmccosx.

Якщо продиференціювати ще раз, знайдемо другу похідну:

f"(x) — esmx(cosx)'+( esmc)'cosx — esmx(-smx)+ esmccosx-cosx — esmc(cos2x-sinx).

Відповідь: f"(x) — esmc(cos2x-sinx).

x1 +1

Приклад 13. Знайти другу похідну функції у =      і обчислити її значення

прих = 2.

82        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції

Розв’язання: Спочатку знайдемо першупохідну:

(х - і)(х2 +1) - (х -1)' (х2 +1) _ 2х(х -1)- (х2 +1)

(х-l)2   (х-1)2

у'

2х —2х — х -1 х -2х-1

 

(х-1)2  (х-1)2

Продиференціювавши ще раз знайдемо другу похідну:

„ (х-1Дх2-2х-і) -((х-1)2)(х2-2х-і)

У ~                  /—vi               ^ =

(х-1)

_ (х -1)2 (2х - 2) - 2(х - і)(х2 - 2х -1) _ {х - \)2(х -1)2 - і(х - і)(х2 - 2х -1) _

(х-1)4  =          (х-1)4

2(х2-2х + 1-х2+2х + 1) 2-2   4

(х-1)3  (х-1)3 (х-1)3 '

„/ \ 4

Обчислимо значення другої похідної при х = 2; маємо v 12) = 7           гт = 4.

(2-і)3

Відповідь: у"{2) = 4.

Приклад 14. Точка рухається попрямійза законом S—t - sin?. Знайти швидкість

к і прискорення руху при t = — •

2 Розв’язання: Швидкість рухутіла в даний момент часурівна похідній шляхуб' по часу t, а прискорення - другій похідній шляху S по часу t. Знаходимо:

V(f) = 5" = 1- cost a(t) — S"(t) — - (- sin?) — sin?, тоді:

V\ — = 1 - cos— = і(м/с);

\2)        2

a\ — = sin— = 1(M/C 1

\2)        2

Відповідь: y(l] = i(M/c) ; a\—} = і(м/с2)

i 2J       \2)

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослідження функції 83