5.4.5. Похідні обернених тригонометричних функцій.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Щоб вивести похідні функцій}> — arcsinx, у — arccosx, у — arctgx використаємо їх

означення. Так, у — arcsinx можна записати як х — siny, де у є

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

х' — (siny)' — cosy-/; /•cosy — 1 .

—;—

2 2

 

Звідси,

у'

 

1

cosy д/l - sin2 у ліі-х2

Аналогічно виводяться похідні решти обернених тригонометричних функцій. Запишемо формупи похідних:

 

1

(arcsin х)          1

 

            л/l-x2

(arccos х)        1

 

            л/l-x2

(arctgx) =         1

 

            1 + x2

(arcctgx)          1

 

            1 + x2

(arcsinu) -

(arccos u)

(arcctgw)

(arcctgw)

■u'

u

VT^

■•«'

/i ^ \l — u

■•«'

1 i ^ 1 + w

■•«'

1 i ^

1 + W

Виведені формупи записують в так звану таблицю похідних.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження функції 75

Таблиця похідних

[и + v) = и' + v'

(u-v) =u-v' + vu'

 

(Си) = Си'

С' = 0

м 1 vu' — uv'

V

x' = 1

 

и

п ■ х

п-\

7a

w

 П-U

n~l „'

 

(v^f

smx 1

-1 sin2x

в

13

И

 

с

с

 

X

X

2\х

М'

COSX

(sin х)

COS JC

(cos х) = (tg*)' =

(ctgx)

 ax lna

 

V

8a

9a

10a

11a 12a

13a

14a

 

C

Cv'

 

V

u' 2-Ju

(sinw) = cos M-M'

sinw-M'

cos и

и'

(COSM) (tg«)

(ctgw)

sin u

la" ) = a" • lna -u

 

И

= е

X

15a

\eu j = e" ■ u

 

и'

VT^

^

1

■u'

vr^

V1 - и

•«'

\ + u'

1 + x2

-u'

1 + x2

\+ul

17

19

21

 

(ь\4

X

il°Sa\X\) =-j    

x m a

(arc sin x)

1

(arccosx)' (arctgx) =

[arcctgx)

2

16a

17a

18a

19a

20a

21a

(л i Y u' (In иП - —

(loga|M|) =^— uma

(arc sin ii)

(arccosMy (arctgw)

(arcctgw)

 

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної do дослідження функції