5.3. Правила диференціювання.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Визначення похідної не лише дозволяє встановиги її фізичний та геометричний зміст, а й дає спосіб обчислення похідної функції. Для цього необхідно виконати наступні чотири кроки:

-          задати приріст аргументу Дх;

-          знайти приріст функції АДх) =j{x+Ax) —fix);

-          скласти відношення приросту функції до приросту аргументу;

-          обчислити границю складеного відношення. Наприклад: Знайдемо похідну функції^ — х2. Зробимо послідовно вказані чотири кроки:

-          нехай приріст аргументу буде Ах;

-          знайдемоАу = у{х+Ах) -у{х)={х+Ах)2 -х2 = х2+2хАх+{Ах)2 -х2 =2хАх +(Ах)2=

- Дх(2х+Дх).

Лу Ах(2х + Ах) „

-          складемо відношення ^ =І   ' = 2х + Дх;

Ах       Ах

Ау _

-          обчислимо границю відношення шп— - Ііш (2х + Ах) - 2х.

Отже, у '= (х2)' = 2х.

По наведеній схемі можна встановити також похідні суми, добугку частки еле-ментарних функцій. Як приклад, введемо правило знаходження похідної суми двох функцій.

Нехай функцію>' —f(x) можна представигиувигляді алгебраїчної суми функцій и та v, диференційованих в т. х, тобто^ — u+v.

Знайдемо у', використовуючи схему

-          нехай приріст аргументу Ах;

-          зкайдемоАу=у(х+Ах)-у(х)=(и(х+Ах)+у(х+Ах))-(и(х)+у(х))=(и(х+Ах)-у(х))+ +(v(x+Ax) - v(x))=Aw+Av;

Ay Aw + Av Aw AV

-          складемо відношення           =          =          1          ;

Ax       Ax       Ax Ax

-          обчислимо границю

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїdo дослідження функції 69

Ay       (Аи ДИ           Au       Av

^ = lim — + — = lim — + lim

lim — = lim      1          = lim    ь lim — = u' + v'

Дх-*)Дс Ах^Дх Ax) Ах^ОДх Дх-*)Дс

Отже, похідна алгебраїчної суми двох функцій рівна алгебраїчній сумі похідних доданків:

(M+V)' = и' + у'. Аналогічно знайдемо правила диференціювання добугку та частки:

/ ч' ,     ,           (и\ u'v-uv'

\uv) =uv + uv;

 

v2

Наслідками з правил диференціювання є наступні співвідношення:

і

і \' і \' (С\ CV ,

\Си) = С{и);   — =     —; С =0.

V v )    v

Встановимо правило диференціювання складеної функції. Складеною назива-тимемо функцію, аргумент якої теж функція, TO6TO/(V(X)). Наприклад,

у = vsinx, У = е1+Х\ у = lnll + V X ) ■

Позначивши аргумент як и = и(х), одержимо у = -Ju , де w = sinx; у = е", де

и=1+х2; у = Іпм, де и — 1 + -\ІХ. Функцію и(х) часто називають проміжним аргуме-нтом (внугрішньою функцією).

Теорема. Якщо функція у = fiuixj) диффенційована по и, а и(х) - диференці-йована по х, то похідна функції^ по незалежній зміннійх рівна:

у' = у \и) -и \х) .

Доведення. Згідно означення похідної

у = lim^- •

Ах^оДд;

Домножимо чисельник і знаменник на Аи, тоді:

,           АуАи  Ау       Аи „ ч

v = lim = lim    lim — = у (и)-и (х).

д*->о Аи ■ Ах Дх->о Аи Дх->о Ах

Отже, похідна складеної функції рівна добугку похідної цієї функції по проміж-ному аргументу и на похідну проміжного аргументу:

(у(и(х)))' = у \и) -и \х).

70        Роздіп 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції