5.2. Геометричний зміст похідної.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Відомо, що швидкість руху точки спрямована по дотичній до її траєкторії в сторону додатного відліку відстані. Тому наприклад, визначення швидкості польогу кулі (снаряда) за її траєкторією, швидкість руху будь-якої планети по її орбіті вимагає визначення напрямку дотичної до кривої. Напрямком дотичної вважають кут між дотичною і додатнім напрямком осі абсцис.

Введемо понятгя дотичної до кривої.

Дотичною до кривої BTJ називають граничне положення січної^5 при пере-міщенні т. В в т.А (див. рис. 1).

Проведемодотичну Гдо графіка фуіжції у — fix) в т. А(х„ у„) і січнуАВ, (т. В(х„ у,)) з куговим коефіцієнтом к, — top, (рис. 2). 3 трикушика^ЯР знайдемо:

і           Уі ~ Уп Ау

кх = tg фх = —            = —

х1—х0 Ах

66        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження фунщії

січна січна

дотич-на

Y t

X

Рис. 1.

Тоді

Вважаємо, що т. А є фіксованою, а т. В необмежено наближається до точки^.

січна АВ наближається до дотичної Т;

х1 —>х0, отже Ах ^>0;

кут ф, —> ф, де ш - куг нахилу дотичної Тдо осі ОХ.

 

Тому, що tg ц>1 - неперервна функція (випадок ф.

мемо:

           

л

не розглядаємо), мати-

 

tgcp = limtgcpj = lim

АУ

у' ■

Отже, геометричним змістом похідної е тангенс куга нахилу (кутовий кое-фіцієнт) дотичної до графіка функції в заданій точці.

 

Хо       Х\

рис. 2.

Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідноїдо дослідження функції 67

3 геометричного змісту похідної видно, що не в кожнійточці неперервної фуіжції можна провести дотичну (рис. 2а), тобто не в кожній точці існуватиме похідна. Це підтверджує, що обфнена теорема до приведеної в п. 4.1 невірна.

Геометричний зміст дозволяє також встановити значення похідної в будь-якій точці графіку функції (рис. 2а).

у' не існує

 

у'=0

X

Рис. 2а.

Як відомо, буць-яка не вергикальна пряма, що проходигь через т. А(х„ у„) визна-чається рівнянням:

у = уЛМх — хЛ,

де к - кутовий коефіцієнт прямої Т. Таким чином, рівняння дотичної до графіка функції у — /Гх) в заданій точці Жх„, у„) матиме вигляд:

v = КУп) + /*' ОООс - *Д

а рівняння нормалі в заданій точціЖх^ уЛ

(х — х0) .

у = у0

           

f'(x0)

 

Наприклад, рівняння дотичної до графіка функції j{x) — х2+2х -1 в точці х—1 матиме вигляд

у — 4(х - 1) +2 — 4х - 2, а рівняння нормалі в цій точці

у—2 - 1/4(х - 1) — 2,25 - 0, 25х,

оскільки f'(x) = 2х + 2, /'(1) = 4, /(1) = 2.

68        Розділ 5. Похідна. Застосуеання похідної до дослідження фунщії