РОЗДІЛ 5. ПОХІДНА. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ 5.1. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Центральне поняття диференціального числення - похідна, виникпо при роз-в 'язуванні веяикої кількості задач природознавства та математики. Найважпивіші сфед них - фізичні задачі знаходження митгєвої швидкості і геометрична задача побудови дотичної до кривої.

Розглянемо задачі знаходження митгєвої швидкості.

1.         Нехай тіло рухається згідно закону S —f(t). Тоді пройдений тілом за час At

шлях AS обчислиться за формулою:

AS —f(t+At) -/(tj, а сфедня швидкість руху тіла визначигься за формулою:

_ AS

сеР-     A +

Очевидно, що чим менший проміжок часу At, тим більш точно встановлю-ється швидкість тіла саме в момент часу L. При Д?—»0 середня швидкість V на-

* 0 г    г          сер

ближається до дійсної швидкості руху тіла в момент часу L (миттєвої швидкості тіла V в заданий момент часу). Оіже,

 AS

VM = lim        

Аґ^О At

2.         Нехай no провіднику за час t через поперечний переріз проходить кількість

електрики q згідно закону q — q(t). Необхідно знайти силу струму що проходить по

провіднику в момент часу t. Розв’яжемо задачу аналогічно попередній.

-          надамо часу t приріст At > 0 ;

-          знайдемо приріст кількості електрики Aq — q(t0+At) - q(t0);

-          знайдемо середню швидкість зміни кількості електрики (середня сила

А^

струму за проміжок часу At) I =      ;

 знайдемо миттєву швидкість зміни кількості електрики в момент часу t

VM = lim

Aq

At

ІАІ

Узагальнюючи, можна сказати, що знайдено математичний вираз для обчис-лення миттєвої швидкості зміни будь-якої величини.

В математичному аналізі вже для довільної функціїу = fx) вираз

f[x0 + Ax) - f(x0)

називають похідною і позначаютьу'

Таким чином, похідна відображає швидкість зміни залежної змінноїу по від-ношенню до незалежної змінної х, яка не обов’язково має фізичний зміст часу.

Сформулюємо означення похідної:

Похідною функції v —J(x) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо останній прямує до нуля:

, ,. f(x + Ax)-f(x) ,. Av

у = hm = hm —

АХ^О Ax       Дх^оДх •

Опфація знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Оскільки похідна - це границя відношення, то для існування цієї границі необ-хідно, щоб Ду—»0 при Дх—»0 (в іншому випадку одержимо ділення нануль).

Дана умова існування похілної є одночасно умовою неперервності функції в даній точці. Звідси випливає теорема:

Теорема. Якщо функція у — fix) диференційована в точці х — х„, то ця функція неперервна в даній точці.

3 теореми випливає, що в точці розриву функція не може мати похіджної, бо в такій точці приріст Ау є скінченою величиною при Дх—»0.

Обернене до теореми твердження невірне, що буде показано в пункті 4.2.