Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_89e4f0625cd82ceeb9e835280669c733, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
4.6.Чудові границі. : Вища математика : Бібліотека для студентів

4.6.Чудові границі.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

магниевый скраб beletage

Ряд прикпадів пов'язаних із знаходженням границі легко розв'язаги, якщо відо-мо формули так званих „чудових границь":

,. sin х tec [ 1

hm       = 1;      lmi cos x = 1; lim          = 1;      lim 1 н

*^0      x          x^O     x^O x  x^0\     x

[, a \ ln(l + x) a * - 1 e * - 1

n 1 н    = e ;     lim        = 1; lim            = m x; lim        

*0l       x I        *^°      X         *^°      X         *^°      X

 sin x

Доведемо, lim = 1.

*->» x

Нехай x прямує до нуля, залишаючись при цьому додатним. Тоді можна вважа-

™, 0 < х < —, h як відомо із шкільного курсу математики, sinx<x<tgx, причому всі

2 вирази, що входять у цю нерівність додатш.

або

Розглянемо три дроби:

sin х sin х sin X

;           ;

sin X x tgx При однакових чисельниках менший той дріб, знаменник якого більший. Тому

sin х sin х sin X

>          >

—       

sin X х tgx

. sinx

1 >       > cosx

Помножимо цю нерівність почленно на -1. Знаки нерівності при цьому змі-

няться на протилежні:

. sinx

-1 <     < -cosx

Додавши до кожної частини цієї нерівності 1, отримаємо:

0<l-^<l-cosx.

Але 1- cos х < х, тому

, sin X

0<1      <х

X

Оскільких >0 та sin x > 0 , то

1-

< х

sinx

X

sinx

що можна записати у вигляді:

< \х

-1

sinx

Остання нфівність записана з припущенням, щох>0. Проте вона справедлива

 парна.

і при х < 0, оскільки функція

sinx

X

-1 , буде

Якщо х прямує до нуля, то як видно з останньої нерівності,

меншим за \х\, і прямуватиме до нуля.

Яким би малим не було число є, завжди можна добитися, щоб справджувалася

НфІВНІСТЬ

sinx ,

            1 < є

X

Для цього х треба вибрати в інтервалі (-е, е). Але це й означає, що

,. sin х

hm       = 1

*->» х Ряд інших „чудових границь" буде доведено в розділі „Похідна та її застосу-вання”.

,. sin Зх

Приклад1З.Знайти hm          .

Розв’язання: Помножимо чисельник і знаменник цього дробу на 3, отримає-

мо:

sin Зх 3 sin Зх

 

х          Зх

Позначимо Зх через у. 3 умови х —> 0, очевидно, вишшває, що й у —> 0. Тому

,. sin3x ,. 3sin3x ,. 3siny „ ,

hm       = hm    = hm    = 31 = 3.

i^O x   JC^O 3X         y^O y

Відповідь:1іт^1^ = з.

JC^O x

 sinmx

Приклад 14. Знайги lim        (и/0).

x^° пх

Розв’язання: Помножимо чисельникта знаменник цього дробуна т івводячи

новузміннуу — тх, отримаємо:

,. sin тх ,. т sin тх ,. msiny т,. sin у ?и , »?

hm       = hm-;—г— = hm       = —hm            = — 1 = —.

х^° пх х^° (тх)-п У^° пу        п х^° у п         п

ШіШіжШ^ттх = т

*^° пх п

,. 1-COSX

Приклад15.3найти Іші

*-° х2

х /1-cosx i_cosx 2sin2

X

Розв’язання: Оскільки sin^ = Г ™"~ , то 1~cosx = 1, тому ввів-

2 V 2   х2        х2

ши нову змшну отримаємо:

2sin 2-

,. 1-cosx ,.       7 .• 2sin 2 у 1 sin 2 у 1

hm       — = hm           T—=- = hm——-r = -lim—r^= —.

*->0 x M° x    y^° (2y) 2^» y 2

1-cosx 1

 

x^° x    2

Відповідь: Hm

ПрикладІб.Знайти lim 1 +

х

X

Розв’язання: Виконуючи перетворення і використовуючи формулу

lim 1 +

X

X

 е і ввівши нову змінну у

X

, отримаємо:

 

I

lim 1 + — =

*-Ч х J

lim

1+

X

-3

 Хііїі

1 +

X

-3 з

lim

і+

у

 

lim 1 + -

у

= е

х

Відповідь: lim 1 +

= е



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_89e4f0625cd82ceeb9e835280669c733, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0