Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
4.6.Чудові границі. : Вища математика : Бібліотека для студентів

4.6.Чудові границі.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Ряд прикпадів пов'язаних із знаходженням границі легко розв'язаги, якщо відо-мо формули так званих „чудових границь":

,. sin х tec [ 1

hm       = 1;      lmi cos x = 1; lim          = 1;      lim 1 н

*^0      x          x^O     x^O x  x^0\     x

[, a \ ln(l + x) a * - 1 e * - 1

n 1 н    = e ;     lim        = 1; lim            = m x; lim        

*0l       x I        *^°      X         *^°      X         *^°      X

 sin x

Доведемо, lim = 1.

*->» x

Нехай x прямує до нуля, залишаючись при цьому додатним. Тоді можна вважа-

™, 0 < х < —, h як відомо із шкільного курсу математики, sinx<x<tgx, причому всі

2 вирази, що входять у цю нерівність додатш.

або

Розглянемо три дроби:

sin х sin х sin X

;           ;

sin X x tgx При однакових чисельниках менший той дріб, знаменник якого більший. Тому

sin х sin х sin X

>          >

—       

sin X х tgx

. sinx

1 >       > cosx

Помножимо цю нерівність почленно на -1. Знаки нерівності при цьому змі-

няться на протилежні:

. sinx

-1 <     < -cosx

Додавши до кожної частини цієї нерівності 1, отримаємо:

0<l-^<l-cosx.

Але 1- cos х < х, тому

, sin X

0<1      <х

X

Оскільких >0 та sin x > 0 , то

1-

< х

sinx

X

sinx

що можна записати у вигляді:

< \х

-1

sinx

Остання нфівність записана з припущенням, щох>0. Проте вона справедлива

 парна.

і при х < 0, оскільки функція

sinx

X

-1 , буде

Якщо х прямує до нуля, то як видно з останньої нерівності,

меншим за \х\, і прямуватиме до нуля.

Яким би малим не було число є, завжди можна добитися, щоб справджувалася

НфІВНІСТЬ

sinx ,

            1 < є

X

Для цього х треба вибрати в інтервалі (-е, е). Але це й означає, що

,. sin х

hm       = 1

*->» х Ряд інших „чудових границь" буде доведено в розділі „Похідна та її застосу-вання”.

,. sin Зх

Приклад1З.Знайти hm          .

Розв’язання: Помножимо чисельник і знаменник цього дробу на 3, отримає-

мо:

sin Зх 3 sin Зх

 

х          Зх

Позначимо Зх через у. 3 умови х —> 0, очевидно, вишшває, що й у —> 0. Тому

,. sin3x ,. 3sin3x ,. 3siny „ ,

hm       = hm    = hm    = 31 = 3.

i^O x   JC^O 3X         y^O y

Відповідь:1іт^1^ = з.

JC^O x

 sinmx

Приклад 14. Знайги lim        (и/0).

x^° пх

Розв’язання: Помножимо чисельникта знаменник цього дробуна т івводячи

новузміннуу — тх, отримаємо:

,. sin тх ,. т sin тх ,. msiny т,. sin у ?и , »?

hm       = hm-;—г— = hm       = —hm            = — 1 = —.

х^° пх х^° (тх)-п У^° пу        п х^° у п         п

ШіШіжШ^ттх = т

*^° пх п

,. 1-COSX

Приклад15.3найти Іші

*-° х2

х /1-cosx i_cosx 2sin2

X

Розв’язання: Оскільки sin^ = Г ™"~ , то 1~cosx = 1, тому ввів-

2 V 2   х2        х2

ши нову змшну отримаємо:

2sin 2-

,. 1-cosx ,.       7 .• 2sin 2 у 1 sin 2 у 1

hm       — = hm           T—=- = hm——-r = -lim—r^= —.

*->0 x M° x    y^° (2y) 2^» y 2

1-cosx 1

 

x^° x    2

Відповідь: Hm

ПрикладІб.Знайти lim 1 +

х

X

Розв’язання: Виконуючи перетворення і використовуючи формулу

lim 1 +

X

X

 е і ввівши нову змінну у

X

, отримаємо:

 

I

lim 1 + — =

*-Ч х J

lim

1+

X

-3

 Хііїі

1 +

X

-3 з

lim

і+

у

 

lim 1 + -

у

= е

х

Відповідь: lim 1 +

= е