4.5.Границя функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

т х —> со.

Розглянемо ще один випадок - існування границі функції при х —> оо.

Означення 1. Нехай функція/(х) визначена на всій числовій осі. ЧислоВ1 нази-вається границею функції f(x) при х —> +оо, якщо для кожного довільно малого значення є>0 існує таке число М>0, що для всіх значень х, які задовольняють умову х > М, справедлива нерівність

\f(x) — ВА<є.

Записують це так:

lim f(x) = Bl.

Геометричний зміст цього визначення такий: число В є границею фушщїі/(х) в плюс нескінченності, якщо для довільного £-околу точки В1 можна підібрати таке число М>0 , що для всіх значень х більших за М, відповідні значення функції попада-ють в £-окілточки51 (рис. 76).

Означення 2. Нехай функція/(х) визначена на всій числовій осі. Число52 нази-вається границею функції f(x) при х —> —оо, якщо для кожного довільно малого значення є>0 існує таке число Л^О, що для всіх значень х, які задовольняють умову х < -N, справедлива нерівність

\f(x)-B2\ < є.

Записують це так:

lim f(x) = В2

Геометричний зміст цього визначення такий: число 5, є границею функції f(x) в мінус нескінченності, якщо для довільного є-околу точки В2 можна підібрати таке число iV>0 , що для всіх значень х менших за -N, відповідні значення функції попада-ють в є-окіл точки5, (рис. 7а).

2 \г

 

і           іУ

--,.. _Знс--І<-... "-■.... 1 \      ЇЇ2

           

 

\\>J \    іВ2-£

1         

 

1 1      

           

-N       0

рис.7а

у A

Bl+£

Ві Ві-є

М        х

рис. 76

 

Якщо існує границя Hm fix) = В, та існує границя Hm f(x) = В7 \В=В=В. то кажугь, що існує границя Hm f(x) = В .

Приклад 10. Довести, що hm           = —.

х^т Зх 3 Доведення:

Нехай задано довільне є>0. Покажемо, що існує таке число М>0, що для всіх значень х, які задовольняють нерівність \х\ > М, справедлива нфівність

2х + 3 2

Зх 3

Виконаємо пфетворення (х Ф 0):

2х + 3 2

Зх 3

 

2 12

- +      

3x3

 

х

 11 Звідсибачимо,щодоситьвзяти М = х,тодіпри \х\ >М матимемо гт < — = є

х М

2х + 3 2

або

            <є

Зх 3

lim

2х + 3 2

 

Зх 3

Отже

х4 -2х2 +3

Приклад 11. Обчислиги границю Hm

"^ю Зх3 - 5

Розв’язання: Поділимо чисельник і знаменник на найвищий степінь аргументу в знаменнику, тобто нах3:

,. х4 -2х2 +3 ,.

Hm      = Hm

х^<° Зх -5       х^к

2 3

х          1—

X X

5

х

 

Ііт 3

2 3

При х —> оо маємо 1іт| х     1          | = оо;

х х2

Оскільки знаменник є величина обмежена, TO Hm

 

3

X

х4 -2х2 +3

Зх -5

 

Відповідь: Hm

х4 -2х2 +3

Зх -5

 

Приклад 12. Обчислиги границю.

Розв’язання: Поділимо чисельник і знаменник нах3, тоді:

„14

„ 3       л          3 + —+ —

,. Зх + х + 4 ,.  r г        3

hm       = hm———   = — = -3.

«»14-х2-х3 *-*» М_і_і _1 х3 х

Зх3 + х+ 4

Відповідь: hm г = -3.

х^"14-х -х

Приклад 13.Обчислигиграницю Hmlx- vx -4xj.

Розв’язання: При х —» оо дана функція є різницею двох нескінченно великих величин (оо - оо). Помноживши і поділивши функцію на спряжений вираз

х + Jx2 -4х > отримаємо:

,. / Г~2 ~\ ,. \х — Vx2 -4х Их + л/х2 ~4х I х2-х2+4х

hmlx-vx -4x1= 1ітл     f           .' '> \    * = Imw           .           \

Іх + л/х2 -4x1 х_>с0 Іх + л/х2-4х I

1ітГ     4Х       = 4

1_>с0 х + л/х2 —4x1 х

,. 4х 4х 4         4

hm       ,           = hm    .           = hm    .           = — = 2.

4

1+Jl-4

V х I    I V х

Відповідь: Нт х - л/х2-4х =