Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_d05340df71363375b95ba2bce5131b2c, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
4.2. Границя функції в точці. : Вища математика : Бібліотека для студентів

4.2. Границя функції в точці.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Вище перелічені властивості фушсції встановлено у всій області її визначення. Розглянемо поведінку функції в окремо взятій точці.

Наприклад, дослідимо, поведінку функцій ух = х2,у2 =\х — 4 принаближені до т. 2 справа і зліва. Результати обчислень запишемо в таблиці.

 

X         1,9       1,96

Уі        3,61     3,8416

У2       2,1       2,04

-»         <-

1,99     2          2,01     2,04     2,1

3,9601 4          4,04041           4,1616 4,41

2,01     2          1,99     2,04     1,9

-»         <-

Бачимо, що чим ближче х наближається дочисла 2, тим ближче у,підходить до

числа 4,ау2 - до числа 2.

х1 -9

Розглянемо поведінку функції у =   при X —> 3.

х-3

-»         <-

X         2,9       2,99     2,999 3            3,0001 3,001   3,01

у          5,9       5,99     5,999 | не існує          6,0001 6,001   6,01

Як видно з таблички функція в точці 3 не визначена, хоча при наближенні як

завгодно близько до числа 3 функція як завгодно близько підходигь до 3.

Розділ 4. Функції. Границя функції.

у

y

A+E

A As

—ft—Yi          ►

a-8 a a+8 x

Рис. 5. Розглянемоповедінкуповедінкуфункції y

x — 2

d

Рис. 6.

при x —> 2.

 

 

X         1,9

y          -10

1,99

-100

1,999

-1000

<I неіснуе i

2,0001

10000

2,001

1000

2,01

Бачимо, що при x —> 2 немає числа до якого наближалася би функція.

Отже, якщо при необмеженому наближені аргументу до числа а, значення функції наближається до деякого числа А, то це число називаємо границею функції в точці а, або більш строго:

число А називається границею функції/fo) при х —> a, якщо яке б мале додатнє число є ми не взяли завжди існуватиме окіл (а- 8,а+§) точки а, такий, що для всіх х з

цього околу виконується нфівність \f(x) — А\<£ (рис. 5). Границю функції в точці позначають 1іт/(х) = А.

х—>а

Як видно з наведених вище прикладів границя функції в точці існує не завжди. Приклад 3. Довести, що 1іт(7х - 3) = 11.

і->2

Доведення: Вважаємо, щозадано будь-яке є>0. Знайдемо S>0 таке, щодля всіх х, що задовольняють умову0 < \х - 2\< д , виконується нфівність \f(x) -11І < є.

Нехай нерівність виконується. Тоді

|/(х)-11І =І7х-3-11І =І7х-14І < є, або

 „, e

7(x-2) <<? =^> x-2 < — 7

Звідси 8 = —.

Тепер покажемо, що для будь-якого є >0 при хє (2-<5;2 + <?) виконується, lim(7x - 3) = 11:

і->2

х-2<(? =^> х-2 < — =^> 7х-14 < є =і> 7

1(7 х - 3) -11І < £ => |/(х) -11І < є => lim f(x) = 11-

Запшпемо основні властавості границь.

1.         Функція має єдину границю в даній точці.

Доведення: Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай в точці х=а функція/^ має дві різні границі А і В. Згідно означення границі для будь-якого

є, існуватимуть такі Sl > Оі 8г > 0, що для всіх х з (Jj-околу виконується умова \f(x) - А\< є, а для всіх х з с?2-околу виконується умова \f(x) -В\< є.

Тоді вибравши § = min(<5[; 52), отримаємо для д-околу точки a

-є< Дх) - A < є

-£< Дх) -В <£,

і віднявши отримаємо:

0< -А + В < 0, тобто -А+В=0, А=В, аце суперечить умові АФ В . Отже, функціямаєєдинуграни-цю в даній точці.

2.         Границя константи дорівнює самій констангі:

lime = с.

3.         Границя суми (різниці) функційдорівнює сумі(різниці) цих функцій:

lim(/(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) 4.Границядобуіі^ункційдорівню7добутеу;р+аницьцихфункцій:

lim(/(x) • g(x)) = lim/(x) • limg(x)

x—>a  x—>a

Наслідки:

a)         Сталий множник можна виносиги за знак границі:

lim kf(x) =к lim f(x).

х—>а  х—>а

b)         Якщо п - натуральне число, то

limx* =а"; 1ітл/х =Ца.

х—>а

5. Границя відношення двох функцій дорівнює відношенню границь цих функцій, якщо тільки границя дільника не дорівнює нулю:

hm       =          hmg(x) Ф 0

*->" g(x) limg(x) v. х-+а

х—>а

Відмітимо, безпосереднє застосування властивостей при знаходженні границі

функції може привести до виразів типу —; —; оо - оо; 1"; 0 • оо; 0°; оо°, які назива-

0 оо ють невизначеностями.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_d05340df71363375b95ba2bce5131b2c, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0