4. ФУНКЦІЇ. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ 4.1. Функція. Властивості функції.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Вивчаючи різні явища ми маємо справу з величинами, наприклад: силою, швидкістю, ростом волосся, зношуванням шин і т.д. Сукупність значень кожної величини угворюють множину її значень. Більшість величин повязані між собою.

Якщо кожному значенню х з множини значень X можна поставити у відповід-ність одне і лише одне значення^ іншої множини Y, то таку відповідність називається функцією.

Множиназначеньх,, х„ ...,х з множиниX для якої визначена функція назива-

I 2        п          LJ

єгься областювизначення функціїіпозначаютьД асамізначеннях,, х„ ...,х нази-вають аргументами функції.

Сукупність всіх значень фушсції називають множиною значень функції і позна-чають Е.

Наприклад, якщо аргументом є х є [0, оо), а функція дія добування квадратного

кореня, то значення функції в математичних позначеннях матиме вигляд у = -Jx ■

В загальному випадкузапис матиме вшшду=/(х). Функцію можна задати наступними способами:

■          словесно(кожномуучневі поставлятьувідповідністьдатуйогонародження;

■          таблично (розклад руху поїздів, температурний календар);

■          аналітично (j = х2, у = sin(2x + 3));

■          графічно (графіком функції називається сукупність точок площини з коор-динатами (x; f(x)), де х є D).

Якщо область визначення функції є множина натуральних чисел N, то функцію називають послідовністю.

Нагадаємо основні властивості функції:

1.         Функція називається зростаючою, якщо більшомузначенню аргументувід-

повідає більше значення функції (рис.1)

Х[ > х2 ^ f(xl) > f(x2); Xj; х2 є D.

2.         Функція називається спадною, якщо мешпому значенню аргументу відпові-

дає більше значення функції (рис.2)

Xj < х2 ^ /(xj > f(x2); х1;х1 є D.

3.         Функція називається монотонною, якщо вона лише зростаюча або лише спа-дна в своїй області визначення.

4.         Функція називається парною, якщо зміна знаку аргументу не викликає зміни знаку функції

f(-x) = f(x), x; -x є D. Графік парної функції симетричний відносно осі Оу (рис.З) . 5. Функція називається непарною, якщо зміна знаку аргументу викликає лише зміни знаку функції

f(—x) - -f(x), х; - х е D. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 4)

 

Х         Х

 

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

6.         Функція називається обмеженою зверху, якщо для неї існує таке число М, що

виконується умова

f(x) < М, х <=D.

7.         Функція називається обмеженою знизу, якщо для неї існує таке число т, що

виконується умова

f(x) >т, х <=D.

8.         Функція називається обмеженою, якщо вона обмежена знизу і зверху

т < f(x) < М, х <=D.

9.         Фушсція називається періодичною, якщо існує таке число Т( Т -£ 0; Т € і? ),

для якого виконується умова

fix — Т) - f(x) - fix + Т), х е D.

Ю.Функція у_ (х) називається оберненоюдля функції/^, якщо

/_1 (f(x)) - f(fl (х)) - X, X є D ■ Графіки взаємообернених функцій симетричні відносно бісектриси першої і третьої чвертей системи координат (пряма^ — х).

Прикладі. Знайти область визначення функції У = —г    .

х -5х + 6

Розв’язання: Функція визначена для всіх значень аргументух, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль. Розв'язавши рівняння х2 - 5х + 6 = 0 ; знайдемо корені х1=2, х2 = 3. Отже, D(y) = (-оо;2) u (2;3) u (3; оо).

ВІДПОВІДЬ:ДГУ) = (-оо;2) u (2;3) и (3;оо).

Приклад2. Дослідиги фуіжцію f(x) = х + х2 на парність(непарність).

Розв’язання: Дослідимо, поводить себе функція при значенні аргументу-х:

/(-х) = (-х) + (-х)2 = -х + х2 • Як бачимо умови парності і непарності не виконуються. Отже, дана функція є ні парною, ні непарною.