3.4. Показникова форма комплексного числа.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Розглядаючи функцію у — е* для комплексного змінного, відомий математик Л.Ейлф встановив співвідношення ekf — cos(p+/sin(p.

3 даної формули слідує, що кожне комплексне число z^O можна записати у вигляді, z — r(cos(p+Mn(p) — r-ekf, який називають показниковою формою запису.

Над комплексними числами в показниковій формі виконують такі ж дії як і в тригонометричній формі. Виведення формул, за якими виконують дії ґрунтується на основних властивостях степеня.

Нехай Zj = rxel<Pl, z2 = ^е'*"2, тоді:

Л<Рі+<Рі)

 =—е

zl rle     г1 НЛ-<р2)

z2 г2е

г

                                   

(re^)"=rV"p;

і— I ■ t— Щг =Уге"р = Щг -е

.ср+2*

ч

к = 0, 1, ..., и —1.

5ЯГ

Приклад 11. Представити число 4е 6 в алгебраїчній формі.

л          5л

Розв’язання: Згідноумовизадачі г -% (р- —,тому

 К

5ж a = 4cos— = 4

л/3

2 ,

-2V3;

,           5ж „1

b = 4 sin — = 4 • — = 2,

1—      i—

значить          4е 6 =-2л/3+2і-

Шаповіаь: -2л/з+2/

Приклад 12. Виконати дії; результат записати в тригонометричній та показнико-

/г + І г-1

вш формах: z = 10      1         

{2-і 4 + 2/ Розв’язання: Спочатку виконаємо дії:

/' + І (і + /')(2 + /) 2 + 2/' + /' + /'2 2 + 3/-1 1 + 3/

1          = 7       \7         \ =        2          2          =          =          '

'2-і (2-/')(2 + /'J           2+1      4 + 1    5

1-і (і - /') (4 - 2і) 4-4і-2і + 2і2 4-6/-2 2-6/

2          = 7       \7         \ =        2          2          =          =          '

4 + 2/ (4 + 2/) (4 - 2/') 4+2      16 + 4  20

1 + 3/ 2-6/ 4+ 12/+ 2-6/ 6 + 6/ 3 + 3/

3.         1          =          =          =          j

5          20        20        20        10

 3 + 3/ _

4. 10    = 3 + 3/.

Тепер отримане число запишемо в тригонометричній та показниковій формах. Для цього знайдемо модупь та аргумент:

= V3 +3 = V9 + 9 = 3V2,

(р = а = arctg 1 = — . 4

Тоді

ґ          \           -п

z = 3V2 cos—ь/'sin— ; z = 3V2-e4

V 4      4)

я          я )        /— '

Відповідь:г-3+3/; г = ЗлІ2 cos — + z'sin— ; г = Зл/2-е

^4        4