3.3. Тригонометрична форма комплексного числа.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Розглянемо рис. 2. Згідно з тригонометричними співвідношеннями в прямокут-ному трикутнику числа а, Ь можна виразити через гіц> таким чином:

a — rcoscp ; b — гвіпф . Тоді комплексне число запишеться у вигляді:

z — a+ib — гсовф+г'гзіпф — r(cos9+/sin9). Запис комплексного числа в такому вигляді називається тригонометричною формою комплексного числа.

Отже, для того, щоб перейти від алгебраїчної форми запису комплексного чис-ла z — a+ib до тригонометричної, достатньо знайти його модуль і аргумент.

Приклад 5. Записати число z = —>/3 - /' в тригонометричній формі. Розв’язання:

Знайдемо модуль r = J(— 3) + (— l) = V3 +1 = V4 = 2.

Знайдемо гострий кут a — arctg

-1

л/3

 arctg

л/З

 arctg

 

л

л/3

 

3 6

Вектор, що відповідає даному комгшексному числу належить третій чверті, тому

ІП        г-         ( ІП      . ІпЛ

аргумент дорівнює   , отже z = —v3 — / = 2 cos   h/sin

, отже z = -v3-/ = 2 cos— + /sm— .

6 6       I 6        6 J

In         ln~\

Відповідь: z = 2| cos— + i sin—

6          6

Для того, щоб перейти від тригонометричної форми запису комплексного чи-сла z — r(cos(p+/sin(p) до алгебраїчної, достатньо знайти дійсні числа а, Ь з формул a — rcoscp; b — rsincp.

Приклад 6: Записати числог — 2(cos330°+zsin330°) в алгебраїчнійформі.

Розв'язання:

Знайдемо sin330° та cos330°

.           ..          .. V3

cos330 -cos(36l)0-3l)0) = cos3l) -      ;

1 sin330° — sin(360°-30°) — -sin30° — - — ;

2 \3

A/3; o = 2 — = -1. V 2j

тоді a = 2

Отже,  z = 2(cos330 + /sin330 J=-j3-i.

Відповідь:г = л/3-г.

Дії над компл ексними числами в тригонометричній формі.

В тригонометричній формі запису комплексних чисел виконують дії множен-

ня, ділення, піднесення до степеня, добування кореня «-ого степеня. Виведення фор-

мул, за якими виконуються дії, відносно прості і ґрунтуються на основних формулах

тригонометрії.

Нехай  z, — r,(cos<p,+ism<p,) та z. — rJcosw.+ismm.).

1          l           ' 1        '\'         2          2V       '2         'L' '

Тоді:    —L = —(cos(^] -^2) + /smw>i -(p2))

z2 r2

zi'z2 = ri'r2 (cos(9i+92)+ ''sin(9i+92))-Отже, при множенні комплексних чисел, заданих в тригонометричній формі, їх

модулі перемножують, а аргументи додають; при діленні - модулі ділять, а аргумен-

ти віднімають.

Правило множення комплексних чисел автоматично розповсюджується на

довільне число множників. Якщо взяти рівні множники z — r(cos<pl-ism<p), TO

z" = (r(cos<p + ism<p))" = rn{cosncP + ismncP).

Отриману формулу називають формулою Муавра.

Для добування кореня n-го степеня з комплексного числа z — r(cos(p+/sin(p) використовують формулу

„/— /—           :           „і—( т + 2пк . т + 2пк

п

п

■Цг = Ц r (cos ср + ism ср) =л]г\ cos            h/sm    

де Уг арифметичнийкорінь,к = 0, 1,...,«- 1.

Приклад 7. Дано комплексні числа z, = 12(cos225°+z'sin2250) та

3          П . .     „ „        z, „

z ,= т (cos75°+zsm750). Знаити добуток z-z, та частку —- . Результат записати в

2 2       • 2       z2

алгебраїчній формі.

Розв’язання: Застосовуючи правила множення та ділення комплексних чисел в тригонометричній формі, отримаємо:

zl 'z2

= 12- —(cos(225 +75 ) + z'sin(225 +75 ))

1          v3

--i—

2          2

 9-9z'v3 ;

= 18(cos300 + z sin 300 ) = 18

— = 12: —(cos(225 -75 ) + zsm(225 -75 ))

z2        2

8(cosl50° + z sin 150°)

            + z — = -4-\/3+4z.

2 2

Відповідь: Z] • z2 = 9 - z'9V3; —- = -4V3 + 4z.

z2

Приклад 8. Обчислити z = (2(cos240+z'sin240))5. Відповідь записати в алгебраїчній формі.

Розв’язання: Знаходимо:

z = 25(cos(5-24°) + z'sin(5-24°)) = 32(cosl20° +z'sinl20°) =

 32

2 2

-16 + 16z'V3.

Відповідь: z =-16 + z'16v3.

Приклад9.Обчислити L/3-z'J .

Розв’язання: Запишемо число v3 - і в тригонометричній формі:

г =

•yU/З Г+(-і) =2; a = arctg

-1 л/3

           

^ ; ^ = 2^-^ = 1^ = 330°

6          6 6

 

Тоді:

V3 —і = 2(cos330 + /sin330 ) (ТЗ - if =(2(cos3300+/sin330°))1(

=210-(cosl0-3300+Mnl0-3300)=210-(cos(600+9-3600)+Mn(600+9-360°))=

=210-(cos60°+Mn60°)=1024

2 2

 512 + 512г'л/3

Відповідь:(л/3-г)° = 512+і-512л/з .

Приклад 10. Обчислити v - 81 . Відповідь записати в алгебраїчній та тригоно-метричній формах.

Розв’язання: Запишемо число-81 в тригонометричній формі:

-81 = 81(COSTI + /shut)

Тоді

4

деА=0, 1, 2, 3 .

При£= 0:

z0 = 3

           

(к ж-0) . . (к яг-О

cos —і +/sm —I         

4 2 )     I 4 2

           

+ /

V2 V2 ] 3V2 3V2

2

 + / 2 2

3| cos—hi sin— i

v 4

При A; = 1:

 

Zj = 3 При k — 2 :

z2 = 3

Л" яЛ . (71 Л

COS    V — \ + l Sin   h —

4 2 J    1 4 2

u

(n \ . [л

COS    Y7I \ + l Sin     Y7I

 

v2v2 | 3V23V2

 

+ /

2

 + / 2 2

-/

2 2

-/

V2V2 | 3v2 3v2

 

2

 

При к = 3 :

 

z3 = 3

(п ЗяЛ . (п Зл"

COS    V         + I Sin h         

14 2 J  14 2

 

-i

2 2

+ i

V2 V2 I 3V2 3V2

 

2