3.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Кожному комплексному числу z = a+ib можна поставити у відповідність впо-рядковану парудійсних чисел (a; b) і навпаки. Така впорядкована пара дійсних чисел визначає точку або вектор на площині.

Отже, комплексне число виду z — a+ib зображається на координатній площині точкою М{а, Ь) або вектором, початок якого співпадає з початком координат, а кі-нець з т. М.

Сама координатна площина називається при цьому комплексною площиною, вісь абсцис - дійсною віссю, вісь ординат - уявною віссю.

Наприклад, зобразимо числа z = 2 + 3/, z = -3 + /', z = -4 - 4/, z = 3/, z = 3 - 2/. z= 6 (рис. 1).

 

Ze X

 

Представлення комплексного числа як вектора на площині дозволяє ввести по-няття модуля та аргументу комплексного числа.

Модулем комплексного числа називають довжину в ектора, що відповідає дано-му числу (позначають г або р).

Аргументом комгшексного числа (z Ф 0) називають величину кута ф між додат-нім напрямком дійсної осі і вектором, що відповідає даному комплексному числу

Розглянемо рисунок:

 

Y к     

b                      z (а; Ь)

 

            г /                   

 

            У^~\ *Р                     

0          a рис. 2           X

Штт- л-          / 2 , т 2

основі теореми Піфагора отримуємо г = V a +b .

Наприклад, комплексне числоz = 8 - 6i маємодульрівний 10, бо

г = д/8 +(-6) = V64 + 36 =vl00 =10 •

Аргумент комплексного числа z Ф 0, на відміну від модуля, визначається не-однозначно. Так аргументами числа 5 є наступні кути ф — 0 ; ф2 — 2л ; ф3 — -2л, ... Ф к — 2тік (к — 0, ±1, ±2...). Серед нескінченої множини значень аргуменгу лише одне належигь проміжку (-л; л) або (0; 2л). Ці значення аргумешу ми і будемо визначати.

Аргумент легко визначиги, якщо комплексне число розміщене в I ЧВфТІ. Дійс-но, згідно з тригонометричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику (рис. 2) матимемо:

Ь          Ь

tgcp = —, (p = aictg— .

а          а

Якщо комплексні числа розміщені в інших четвертях, то необхідно провести

додаткові міркування. Розглянеморис. 3. Бачимо, що для

II чверті <Р=Р - arctg

для III чверті <р=р + arctg

 

дляІУчверті р =-arctg

або (р = 2р- arctg

 

якщоза arctg

приймати значення гострого куга а.

 

II ф =7і - a

Ф = a

I

 

a

 

ocv"     ^<a

 

Ф=- a

ний:

 

IV

Ф=л; + a

III

Таким чином, алгоритм знаходження аргументу комплексного числа наступ-1. Визначиги коефіцієнти а, Ь заданого комгшексного числа.

2. Знайти a = arctg

3.         Встановиги, в якій чверті розташоване комплексне число.

4.         Обчислити аргумент <р згідно приведеним формупам.

Можливі й інші способи знаходження аргументу комплексного числа, наприк-

лад:

ср =

acrtg

a

якщо точка (а;Ь) належитьIабоIVчверті;

;r-arctg—, якщо точка (а;Ь) належитьIIабоIIIчверті;

або аргумент j визначають з системи: <^

a cos(p = — ; r _b

 

Приклад 4. Знайти аргумент комплексного числа z = 1 - i-J^ ■ Розв’язання:

1.Визначимокоефіцієнтиа=1, Ь = —\3 ■

 

2. Знайдемо гострий кут a = arctg

 

рис.4

3.         Встановимо, в якій чвертірозташоване дане число (рис. 4).

4.         Аргумент, що відповідає даному комплексному числуналежить IV чверті, тобто <р= -а—-60°.

п 3

 

Відповідь: (р = -60°