Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
РОЗДІЛ 3. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА 3.1. Алгебраїчна форма комплексного числа. : Вища математика : Бібліотека для студентів

РОЗДІЛ 3. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА 3.1. Алгебраїчна форма комплексного числа.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

магниевый скраб beletage

На множині дійсних чисел ряд алгебраїчних задач, зокрема знаходження коре-нів квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом, немаєрозв’язку. Введемодеяке нове число, яке вважатимемо розв'язком рівняннях2+1=0. Корінь рівняння х2+1 = 0 або х2 — -1 називається уявною одиницею та позначається буквою /'. Таким чином і2—-1.

В деяких технічних дисциплінах уявну одиницю позначають буквоюу. В по-дальшому використовуватимемо обидва позначення.

Уявна одиниця дозвопяє ввести числа нового виду, які називають комплексними.

Комплексним числом називають вираз виду a + ib, деа, Ь- дійсні числа, і -уявна одиниця.

Число а називають дійсною, а число ib - уявною частинами комплексного числа. Комплексне число, як правило, позначають буквою z. Два комплексні числа a, + ib, а а+ іЬ^ називаються рівними тоді і тільки тоді, коли а, — av b,— b„ тобто

112      2          '           ?          1          2 1       27

коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявній частині.

Понятгя «більше» і «мешпе» для комплексних чисел не визначено. Комплексне число z — 0 + Ю називається нулем і позначається 0; комплексне число z — a + /0 ототожнюється з дійсним числом а; комплексне число z — 0+ib називають чисто уяв-ішм і позначають ib. Число 0 є єдиним числом, яке одночасно є і дійсне, і чисто уявне.

Комплексні числа a + ib та a - ib називаються спряженими і позначаються z та

z .Наприклад,вчисліг=1 + 2іа=1, Ь = 2,спряженимдоньогобудечислог =1 - 2/,a

для числа z =l — 3i спряженим буде числоz =1 + 3/.

Множину комплексних чисел прийнято позначати буквою С. Запис комплекс-ного числа у вигляді z — a + ib називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Діїнад комплексними числами в алгебраїчній формі.

Додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами.

Приклад 1. Знайти суму та добугок комплексних чисел z, — 2+7/; z. =3+5/. Розв’язання: Сумузнаходимо формальним додаванням двочленів 2 - 7/, 3 + 5/;

z+z^ = (2 - 1Ї) + (3 + 5/') — 2 - 7/ + 3 + 5/ — 5 - 2/.

1 2 v    ' v        '

Добуток знаходимо перемноживши двочлени 2-7/ та 3+5/ з подальшою замі-ною /2на-1.

z-z.— (2 - 7/')-(3 + 5/') = 6 - 21/'+ 10/- 35/2 = 6 - 11/+ 35 = 41 - 11/.

1 2       '

Відповідь: z+z = 5 - 2/; z-z = 41 - 11/.

||          іі          12        12

Легко побачити, що добугок двох спряжених чисел є дійсним числом: z- z = (a + bi)-(a - Ьї) = a2 - bai + abi - (bi)2 = a2 - b2(-l) = a2 + b2.

4b2

Оіже,

z~z=a

Скористаємось цією властивістю для введення дії ділення двох комплексних чисел.

z2 При діленні комплексних чисел , де z, = a, +ib. , z. — a +ib. достатньо домно-

ґ          2і         1112    -2        2

жити чисельник та знаменник дробу , ■» на число спряжене до знаменника,

а2 + ib2 2j + ibx

тобтона al - iby

Приклад 2. Дано комплексні числа z, — 3 - 4/ та z, = 10 +5/. Знайти різницю z-z,

1          ~ '^      12        г          2 1

ічасткуг2:г1.

Розв'язання: Знаходимо різницю відніманням двочленів 3-4/ та 10+5/.

z2 -z =(10+5і)-(3-4/)=10+5і-3+4і=7+9і.

Щоб знайти частку z.: z, домножимо чисельник та знаменник на число, спря-

1          -'2 1     ?          ґ

жене до знаменника:

z, 10 + 5/ (10 + 5/')(3 + 4/) 30+ 15/+ 40/+ 20/ 10 + 55/        .

-^ =     =          =         ~          ~          =          = 0,4 + 2,2/.

Zj 3 - 4/ (3 - 4/')(3 + 4/')         3 + 4    25

Відповідь: z -z =7+9/; z :z =0,4+2,2/.

Дії над комплексними числами мають наступні цікаві властивості:

Zj + z2 = Zj + z2 ; Zj • z2 = Zj • z2 ; (zj / z2) = Zj / z2 (z2 ?t 0j.

Доведення випливає з означення спряжених чисел. Дійсно,

zx+ z2= Щ +ibl)+(a2 +іЬ2) = Щ +a2) + i\bx +b2) =

= («i + а2)- фі + b2) = (ах - ibx)+ (а2 - ib2) = zx+z2 .

Аналогічно доводяться й інші наведені властивості.

Піднесення комплексного числа до степеня здійснюється згідно з формулами піднесення двочлена до степеня. При цьому слід враховувати, що

/°=1

Наприклад:

/24=/4'6=1,

/'=/,      г2 =-1,

/и=/4т+*=(/4)т-/*=/*,

/59=/414+3=/3=-/;

Р =-/,   /4 = 1

де£= 0, 1, 2, 3.

/42=/410+2=/2=-1.

 

12 +5г

Приклад 3. Знайти комгшексне число z

(2 + З/')2 Розв’язання: Виконавши в знаменнику піднесення до степеня, отримаємо:

12 + 5/ 12 + 5/ 12 + 5/

2 —     —        —       

4 +12/ + 9/'2 4 +12/ - 9 - 5 +12/ ' Домноживши чисельник та знаменник на число, спряжене до знаменника, тоб-тона -5-12/, отримаємо:

60 - 25/ -144/ - 60/

60-169/+ 60 -169/

 

-/'

 

(12 + 5/)(-5-12/)

 

25 + 144

5 +12

(-5 +12/)(-5 -12/') Відповідь:г=/.