РОЗДІЛ 3. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА 3.1. Алгебраїчна форма комплексного числа.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

На множині дійсних чисел ряд алгебраїчних задач, зокрема знаходження коре-нів квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом, немаєрозв’язку. Введемодеяке нове число, яке вважатимемо розв'язком рівняннях2+1=0. Корінь рівняння х2+1 = 0 або х2 — -1 називається уявною одиницею та позначається буквою /'. Таким чином і2—-1.

В деяких технічних дисциплінах уявну одиницю позначають буквоюу. В по-дальшому використовуватимемо обидва позначення.

Уявна одиниця дозвопяє ввести числа нового виду, які називають комплексними.

Комплексним числом називають вираз виду a + ib, деа, Ь- дійсні числа, і -уявна одиниця.

Число а називають дійсною, а число ib - уявною частинами комплексного числа. Комплексне число, як правило, позначають буквою z. Два комплексні числа a, + ib, а а+ іЬ^ називаються рівними тоді і тільки тоді, коли а, — av b,— b„ тобто

112      2          '           ?          1          2 1       27

коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявній частині.

Понятгя «більше» і «мешпе» для комплексних чисел не визначено. Комплексне число z — 0 + Ю називається нулем і позначається 0; комплексне число z — a + /0 ототожнюється з дійсним числом а; комплексне число z — 0+ib називають чисто уяв-ішм і позначають ib. Число 0 є єдиним числом, яке одночасно є і дійсне, і чисто уявне.

Комплексні числа a + ib та a - ib називаються спряженими і позначаються z та

z .Наприклад,вчисліг=1 + 2іа=1, Ь = 2,спряженимдоньогобудечислог =1 - 2/,a

для числа z =l — 3i спряженим буде числоz =1 + 3/.

Множину комплексних чисел прийнято позначати буквою С. Запис комплекс-ного числа у вигляді z — a + ib називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Діїнад комплексними числами в алгебраїчній формі.

Додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами.

Приклад 1. Знайти суму та добугок комплексних чисел z, — 2+7/; z. =3+5/. Розв’язання: Сумузнаходимо формальним додаванням двочленів 2 - 7/, 3 + 5/;

z+z^ = (2 - 1Ї) + (3 + 5/') — 2 - 7/ + 3 + 5/ — 5 - 2/.

1 2 v    ' v        '

Добуток знаходимо перемноживши двочлени 2-7/ та 3+5/ з подальшою замі-ною /2на-1.

z-z.— (2 - 7/')-(3 + 5/') = 6 - 21/'+ 10/- 35/2 = 6 - 11/+ 35 = 41 - 11/.

1 2       '

Відповідь: z+z = 5 - 2/; z-z = 41 - 11/.

||          іі          12        12

Легко побачити, що добугок двох спряжених чисел є дійсним числом: z- z = (a + bi)-(a - Ьї) = a2 - bai + abi - (bi)2 = a2 - b2(-l) = a2 + b2.

4b2

Оіже,

z~z=a

Скористаємось цією властивістю для введення дії ділення двох комплексних чисел.

z2 При діленні комплексних чисел , де z, = a, +ib. , z. — a +ib. достатньо домно-

ґ          2і         1112    -2        2

жити чисельник та знаменник дробу , ■» на число спряжене до знаменника,

а2 + ib2 2j + ibx

тобтона al - iby

Приклад 2. Дано комплексні числа z, — 3 - 4/ та z, = 10 +5/. Знайти різницю z-z,

1          ~ '^      12        г          2 1

ічасткуг2:г1.

Розв'язання: Знаходимо різницю відніманням двочленів 3-4/ та 10+5/.

z2 -z =(10+5і)-(3-4/)=10+5і-3+4і=7+9і.

Щоб знайти частку z.: z, домножимо чисельник та знаменник на число, спря-

1          -'2 1     ?          ґ

жене до знаменника:

z, 10 + 5/ (10 + 5/')(3 + 4/) 30+ 15/+ 40/+ 20/ 10 + 55/        .

-^ =     =          =         ~          ~          =          = 0,4 + 2,2/.

Zj 3 - 4/ (3 - 4/')(3 + 4/')         3 + 4    25

Відповідь: z -z =7+9/; z :z =0,4+2,2/.

Дії над комплексними числами мають наступні цікаві властивості:

Zj + z2 = Zj + z2 ; Zj • z2 = Zj • z2 ; (zj / z2) = Zj / z2 (z2 ?t 0j.

Доведення випливає з означення спряжених чисел. Дійсно,

zx+ z2= Щ +ibl)+(a2 +іЬ2) = Щ +a2) + i\bx +b2) =

= («i + а2)- фі + b2) = (ах - ibx)+ (а2 - ib2) = zx+z2 .

Аналогічно доводяться й інші наведені властивості.

Піднесення комплексного числа до степеня здійснюється згідно з формулами піднесення двочлена до степеня. При цьому слід враховувати, що

/°=1

Наприклад:

/24=/4'6=1,

/'=/,      г2 =-1,

/и=/4т+*=(/4)т-/*=/*,

/59=/414+3=/3=-/;

Р =-/,   /4 = 1

де£= 0, 1, 2, 3.

/42=/410+2=/2=-1.

 

12 +5г

Приклад 3. Знайти комгшексне число z

(2 + З/')2 Розв’язання: Виконавши в знаменнику піднесення до степеня, отримаємо:

12 + 5/ 12 + 5/ 12 + 5/

2 —     —        —       

4 +12/ + 9/'2 4 +12/ - 9 - 5 +12/ ' Домноживши чисельник та знаменник на число, спряжене до знаменника, тоб-тона -5-12/, отримаємо:

60 - 25/ -144/ - 60/

60-169/+ 60 -169/

 

-/'

 

(12 + 5/)(-5-12/)

 

25 + 144

5 +12

(-5 +12/)(-5 -12/') Відповідь:г=/.