2.2. Виконання дій над наближеними числами.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Результат арифметичних дій над наближеними числами є також наближене число.

Необхідно вміти встановиги похибки результатів обчислень. їх знаходять з точ-ішм та без точного врахування похибок вихідних даних. Правила знаходження похи-бок результатів дій з точним врахуванням похибки наведено в таблиці (позначення а,Ь — вихідні дані; h , h,— межі абсолютних похибок відповідно чисел а, Ь; Е, Е, -межі відносних похибок).

E

Дія

а + Ь а — Ь

а-Ь

п

a b

a

Межа абсолютної похибки

h , = h +h a + b a b

h          = h +h

a — b a b

h i=h Щл-кі \a\ « abE ,

ab al o  ab

h Щ + їіЛсп n

i           a          o          " 77

h =       ——~— E

a          2          b a

—        b          —

b          b

,           П —1  П

a

a

h =na h «a E

Межа відносной похибки

E

h +h a b

a+b a+b

E

h +h a b

a-b a-b

h h, E =—^- + — = E +E, ab a b a b

h h, E =Q- + -^- = E +E, a a b a b

b

n-h

п

a

a

n-E

a

 

h

4~a

a

^ n$J^

 

пГ

 ЦаЕп

E

4~a

h E

a          a

n-a n

             —

Приклад 3. Обчислити наближене значення виразу х = 5,         і знайти

д/18,50

межу похибок результату.

Розв’язання: знаходимо значення квадрата числа 5,62 і квадратного кореня із

числа 18,50.Маємо5,622 = 31,58; 18,50 = 4,301.Тоді

5,34-31,58

 39,208 « 39,2

4,301

Знайдемо границю відносної похибки результату:

„ 0,01 0,01 1 0,01

Е =      ь2        1          = 0,0019 + 0,0036 + 0,00028 « 0,0058.

5,34 5,62 2 18,50

Границя абсолютної похибки результату:

h — 39,2-0,0058 « 0,23 « 0,3 . Відповідь: х = 39,2 ± 0,3.

Приклад 4. Обчислити наближене значення виразу х = ±-f і знайти

cos 38 24'

границю похибки результату

Розв'язання: знаходимо значення квадратного кореня із числа 6,24 і cos 3 8°24',

маємо: ^/6,24 — 2,49800, cos38 24'= 0,7837.

3,15-2,49800

х =       « 10,04.

0,7837

Границя відносної похибки результату:

_ 0,01 1 0,01 0,0001

Ь =      1          1          =

3,15 2 6,24 0,7837

=0,0032+0,00081 +0,00013» 0,0042 « 0,005=0,5% .

Границя абсолютної похибки результату й=10,04-0,005=0,05 .

Відповідь: х=10,04+0,05 .

Виконання дій без точного врахування похибки. Точне врахування похибки ускладнює обчислення. Тому, якщо не потрібно враховувати похибки проміжних результатів, можна використовувати більш прості правила.

Додавання і віднімання наближених обчислень рекомендується виконувати так:

а)         виділити доданок з найменшим числом вірних десяткових знаків;

б)         заокруглити ішпі доданки так, щоб кожне із них містило на один десятковий

знак більше ніж виділене;

в)         виконати дії, враховуючи всі збережені десяткові знаки;

г)         результати заокруглити і зберігти стільки десяткових знаків, скільки їх є в

наближеному числі із найменшим числом десяткових знаків.

Множення і ділення наближених обчислень рекомендується виконувати так:

а)         виділити серед даних чисел, число з наймешпого кількістю вірних значущих

цифр;

б)         заокруглити решту даних так, щоб кожне із них містило на одну значущу

цифру більше, ніж у виділеному;

в)         виконати дії - зберігти всі значущі цифри;

г)         збфігати в результаті стільки значущих цифр, скільки їх має виділене число з

найменшою кількістю вірних значущих цифр.

При піднесенні до степеня наближеного числа в результаті зберігають стільки значущих цифр, скільки вірних значущих цифр має основа степеня.

При добуванні кореня з наближеного числа в результаті зберігають стільки вір-них цифр, скільки має підкореневе число.