РОЗДІЛ 2. НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ 2.1. Абсолютна і відносна похибки. Межа похибки.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Прирозв'язанні практичних задач часто доводигься мати справу з наближени-ми значеннями різних числових величин. До них відносяться: результати вимірю-вань різних величин з допомогою приладів; значення отримані при зчитуванні на графіках, діаграмах, номограмах; проектні дані; результати заокруглення чисел; ре-зультати дій над наближеними числами; табличні значення деяких величин; резуль-тати обчислень значеннь функцій. Наближені значення (наближення, наближені числа) можугь значно відрізнятись від точних, або буги близькими до них.

Для оцінки відхилення наближених чисел від точних використовують такі по-няття як абсолютна та відносна похибки.

Абсолютною похибкою наближення називається модуль різниці між точним значенням величини а і її наближеним значенням х, тобто

\а- х I = A . Приклад.

, _        _          _          4

Абсолютна похибка наближення числа — числом 0,44 складає

9

4                      4          11

            0,44     =          —                   

9                      9          2Ь

Д

100-99 1

             zz       

225 225

Якщо точне число невідоме, то знайти абсолютну похибку А неможливо. На практиці вводять оцінку допустимої при даних вимірюваннях чи обчисленнях абсо-лютної похибки, яку називають межею абсолютної похибки і позначають буквою h. Вважають, що h > А. Як правило, межу абсолютної похибки встановлюють з практичних міркувань, наприклад, при вимірюваннях за межу абсолютної похибки приймають найменшу поділку приладу

При записі наближених чисел часто використовують поняття вірної та сумнів-ної цифри.

Цифра р називається вірною, якщо межа абсолютної похибки даного набли-ження не перевищує одиниці того розряду в якому записана ця цифра. В іншому випадку цифра називається сумнівною.

Наприклад: в числі а=9,746±0,04 дві цифри вірні, бо похибка 0,04 не перевищує одиниці розряду десятих. Цифри 9 і 7 вірні, оскільки /г=0,04<0,1, а цифри 4 і 6 є сумнівні, бой=0,04>0,01.

В кінцевому записі наближеного числа зберігають тільки вірні цифри. Так, число я=9,746±0,04 можна записати у вигляді я=9,7; число я=9,746±0,001 -у витляді

a =9,746. Якщо в десятковому дробі останні вірні цифри - нулі, то їх залишають в записі числа.

Наприклад: якщо я=0,26±0,001, то правильний запис числа є 0,260.

Якщо в цілому числі останні нулі є сумнівними цифрами, їх виключають із запису числа.

Саме тому при роботі з наближеними числами широко використовують стан-дартну форму запису числа.

Наприклад: в числі а=25000±25 вірними є три перші цифри, а два останні нулі -сумнівні цифри. Запис числа можливий лише у вигляді:

25000±100або250-102=2,50-104.

Отже, в десятковому записі наближеного числа остання цифра вказує на точ-ність наближення, тобто межа абсолютної похибки не перевищує одиниці останньо-го розряду

Наприклад:

1.         Запис a «3,29 означає, що я=3,29±0,01, тобто межа абсолютної похибки й=0,01.

2.         Записа«0,023; й=0,001. З.Якщоа«326, ток=\.

В десятковому записі числа значущими цифрами називають всі його вірні циф-ри починаючи з першої зліва, відмінної від нуля.

Наприклад: в числі 1,13 - три значущі цифри; в числі 0,017 - дві; в числі 0,303 -три; в числі 5,200 - чотири; в числі 25-103—дві значущі цифри.

При такому підході до запису наближеного числа потрібно вміти заокруглюва-ти числа.

Правила заокруглення чисел:

-          Якщо перша цифра, яку відкидаємо є меншою за п'ять, то в останньому розряді, що зберігається цифра не змінюється. Наприклад: 879,673 « 879,67.

-          Якщо перша цифра, яку відкидаємо більша п'яти, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю. Наприклад: 456,87 « 456,9.

-          Якщо перша цифра, яка відкидається п'ять і за нею є ще цифри відмінні від нуля, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю. Наприклад: 1246,5002 «1247.

-          Якщо перша цифра, яка відкидається - п'ять і за нею немає більше ніяких цифр, відмінних від нуля, то останню цифру що зберігаємо залишаємо без зміни, якщо вона парна і збільшуємо на одиницю, якщо не парна. Наприклад: 0,275 « 0,28; 1,865*1,86.

Абсолютна похибка не повністю характеризує точність наближення. Напри-юіад, Д=1 см буде грубою помилкою при вимірюванні жука, і незначною при вимі-рюванні кита. Те ж саме можна сказати і про межу абсолютної похибки. Якість (точність) наближення краще характеризується відносною похибкою.

Відносною похибкою со (омега) наближення х величини а називається від-ношення абсолютної похибки А цього наближення до модуля наближеного зна-

ЧЄННЯ X, Т06ТО     (X) = — .

X

Оскільки абсолютна похибка А звичайно буває невідома, то на практиці оцінюють модуль відносної похибки деяким числом, яке не менше від цього

модуля:           \ю\<Е.

Число Е називається межею відносної похибки.

Межу відносноі похибки можна обчислити за формулою: Е = т- .

\х\

Звичайно відносна похибка виражається у відсотках.

За допомогою відносної похибки легко встановити точність наближення.

Приклад 1. Знайтивідноснупохибкучислаа= 3,25±0,03. Розв’язання: Маемох — 3,25; A = 0,03.

A 0,03 3

Отже   со = —г =       =          ~ 0,0092 = 0,92%.

х 3,25 325

Приклад 2. Порівняти точність вимірювання товщини книги d (см) і висоти стола//(см), якщовідомо, що d = 2±0,5; //= 100±0,5 .

Розв’язання:

0,5

cod =   = 0,25 = 25%

0,5

а>н =  = 0,005 = 0,5% .

Як бачимо, точність вимірювання висоти стола значно вища.